知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数sinhx=
ex-e-x
2
称为“双曲正弦函数”，类似地，函数coshx=
ex+e-x
2
称为“双曲余弦函数”．
（Ⅰ）判断双曲正弦函数的奇偶性，并证明你的结论；
（Ⅱ）双曲函数的恒等变形多具有与三角函数的恒等变形相似甚至相同的形式，请判断下列等式恒成立的是．（填写序号）
①sinh²x+cosh²x=1；
②sinh2x=2sinhx•coshy；
③cosh2x=cosh²x-sinh²x．
（Ⅲ）请合理定义“双曲正切函数”y=tanhx，写出用tanhx表示tanh2x的恒等变形式，并证明之．

难度：中等

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2．设函数f（x）=2
3
cos2x+2sinxcosx-
3
，求：
（1）函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f(
α
2
-
π
6
)-f(
α
2
+
π
12
)=2
2
，且α∈(
π
2
，π)，求α的值．

难度：中等

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3．已知
a
=（2，1），
b
=（sinα，cosα），且
a
∥
b
，求：
（1）sin²α+2sinαcosα
（2）sin²α+sin2α

难度：较易

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4．已知
m
=（asinx，cosx），
n
=（sinx，bsinx），其中，a，b，c∈R，函数f（x）=
m
•
n
，且f（
π
6
）=f（
3π
2
）=2
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）+log₂k=0总有实数解，求实数k的取值范围．

难度：中等

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5．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a、b、c成公比大于1等比数列，且sinB=
7
4
．
（1）求
1
tanA
+
1
tanB
的值；
（2）设
BA
•
BC
=
3
2
，求a+c的值．

难度：中等

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