知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示的是自动通风设施．该设施的下部ABCD是等腰梯形，其中AB=1米，高0.5米，CD=2米．上部CmD是个半圆，固定点E为CD的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和CD平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将三角通风窗△EMN的通风面积S（平方米）表示成关于x的函数S=f（x）；
（2）当MN与AB之间的距离为多少米时，三角通风窗△EMN的通风面积最大？求出这个最大面积．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=cosxsin（x-
π
6
）．
（Ⅰ）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=
1
4
，a=
3
，且sinB=2sinC，求△ABC的面积．

难度：中等

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3．已知f（x）=2sin2xcosφ+2cos2xsinφ+m（0＜φ＜
π
2
），且f（x）的图象上的一个最低点为M（
2
3
π，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知f（
α
2
）=
1
3
，α∈[0，π]，求cosα的值．

难度：中等

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4．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（{A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
）在某一周期内图象最低点与最高点的坐标分别为(
7π
3
，-
3
)和(
13
3
，
3
)
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）设△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=
3
，a=3，求△ABC周长的取值范围．

难度：中等

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5．已知向量
m
=（sinA，sinB），
n
=（cosB，cosA），
m
•
n
=sin2C，且A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，S_△ABC为△ABC的面积．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且
CA
•（
AB
-
AC
）=
162
3
S△ABC
，求△ABC的外接圆半径R．

难度：中等

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6．设函数f（x）=
3
sinxcosx+cos²x+a．
（1）当x∈[-
π
6
，
π
3
]时，函数f（x）的最大值与最小值的和为
3
2
．求f（x）的单调区间与对称中心
（2）当a=-
1
2
时，求出最小正实数m，使得函数f（x）的图象向右平移m个单位长度后所对应的函数是偶函数．

难度：中等

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7．设函数f（x）=1-
3
cos2x-2sin²（
π
4
-x），x∈R．求：
（Ⅰ）f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）f（x）在闭区间[-
π
3
，
π
2
]上的最大值与最小值．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若f（
a
2
-
π
8
）=
2
3
，f（
β
2
-
π
8
）=
2
2
3
，且α、β∈（-
π
2
，
π
2
），求cos（α+β）的值．

难度：中等

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9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，向量
m
=（α，sinB+sinC），
n
=（sinA，b-c）且
m
•
n
=bsinA
（1）求角C；
（2）若c=
3
，求a+2b的最大值．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=2
3
sinxcosx+2cos²x，求函数f（x）的最小正周期和值域．

难度：较易

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