知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知x∈R，设
m
=(2cosx ， sinx+cosx)，
n
=(
3
sinx ， sinx-cosx)，记函数f(x)=
m
•
n
．
（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，c=
3
，求△ABC的面积S的最大值．

难度：中等

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2．设向量
a
=（2cosx，1），向量
b
=(
3
cosx， sin2x-
3
)，函数f（x）=
a
•
b
．
（Ⅰ）若α∈(
π
2
， π)，且sinα=
5
13
，求f(
α
2
)的值；
（Ⅱ）已知△ABC的三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2
3
，b=3
2
，f（A）=1，求c．

难度：中等

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3．已知向量
a
=（-
3
sin
x
2
，1），
b
=（1，cos
x
2
+2），函数f（x）=
3
2
a
•
b
．
（1）求函数f（x）在 x∈[-π，
5π
3
]的单调减区间；
（2）当x∈[
π
3
，π]时，若f（x）=2，求cos
x
2
的值．

难度：中等

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4．已知
a
=（
3
，cosωx），
b
=（sinωx，-1），（0＜ω＜3，x∈R）．函数f（x）=
a
•
b
，若将函数f（x）的图象向左平移
π
3
个单位，则得到y=g（x）的图象，且函数y=g（x）为偶函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（Ⅱ）若f(
α
2
)=
1
2
，(
π
6
＜α＜
2
3
π)，求sinα的值．

难度：中等

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5．已知
a
=（sinx，cosx），
b
=（cosφ，sinφ）（|φ|＜
π
2
）．函数f（x）=
a
•
b
且f（
π
3
-x）=f（x）．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间：
（2）将f（x）的图象向右平移
π
3
单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，
π
4
]上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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6．已知平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（sinx，1），B（cosx，0），C（-sinx，2），点P满足
AB
=
BP
．
（1）求函数f（x）=
BP
•
CA
的对称轴方程；
（2）若
OP
∥
OC
，求以线段OA，OB为邻边的平行四边形的对角线长．

难度：中等

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7．已知向量
m
=（cos
x
3
，
3
cos
x
3
），
n
=（sin
x
3
，cos
x
3
），函数f（x）=
m
•
n
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调递增区间及其图象的对称中心．

难度：中等

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8．在△ABC中，a，b，c成等比数列．
（1）若
1
tanA
+
1
tanC
=
2
3
3
，求∠B值；
（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=sin2x+
3
cos2x，若关于x的方程f²（x）-af（x）=0在[0，
π
2
]上有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=2cos²x+2
3
sinxcosx（x∈R）．
（1）当x∈[0，
π
2
]时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
m
=（1，sinA），
n
=（2，sinB），若
m
∥
n
，求a，b的值．

难度：中等

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