知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α= $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ ，β= $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$
代入③得 sinA+sinB=2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin $%20%5Cfrac%20%7BA%2BB%7D%7B2%7D$ sin $%20%5Cfrac%20%7BA-B%7D%7B2%7D$ ；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

难度：较易

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2．利用已学知识证明：
（1）sinθ+sinφ=2sin $%20%5Cfrac%20%7B%CE%B8%2B%CF%86%7D%7B2%7D$ cos $%20%5Cfrac%20%7B%CE%B8-%CF%86%7D%7B2%7D$ ；
（2）已知△ABC的外接圆的半径为2，内角A，B，C满足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+ $%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7B2%7D$ ，求△ABC的面积．

难度：较易

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3．设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosxsinycosz的最大值和最小值．

难度：中等

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4．已知α，β为锐角，且，那么sinαsinβ的取值范围是．

难度：中等

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5．利用两角和与差的正弦、余弦公式证明：
sinαcosβ=
1
2
[sin（α+β）+sin（α-β）]；
cosαsinβ=
1
2
[sin（α+β）-sin（α-β）]；
cosαsinβ=
1
2
[cos（α+β）+cos（α-β）]；
sinαcosβ=
1
2
[cos（α+β）-cos（α-β）]．

难度：中等

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6．化简：cos
π
5
•cos
2π
5
．

难度：较易

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7．求值：cos
2π
7
-cos
3π
7
-cos
π
7
．

难度：较易

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8．已知关于x的方程sinxsin5x=a在x∈[0，π）上有唯一解，求实数a的取值范围．

难度：中等

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9．阅读下面材料：根据两角和与差的正弦公式，有
sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ------①
sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ------②
由①+②得sin（α+β）+sin（α-β）=2sinαcosβ------③
令α+β=A，α-β=β 有α=
A+B
2
，β=
A-B
2

代入③得 sinA+sinB=2sin
A+B
2
cos
A-B
2
．
（Ⅰ）类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cosA-cosB=-2sin
A+B
2
sin
A-B
2
；
（Ⅱ）求值：sin²20°+cos²50°+sin20°cos50°（提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及（Ⅰ）中的结论）

难度：中等

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10．已知△ABC的三个内角A，B，C满足： $A%2BC%3D2B%EF%BC%8C%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BcosA%7D%2B%20%5Cfrac%20%7B1%7D%7BcosC%7D%3D-%20%5Cfrac%20%7B%20%5Csqrt%20%7B2%7D%7D%7BcosB%7D$ ，求 $cos%20%5Cfrac%20%7BA-C%7D%7B2%7D$ 的值．

难度：较易

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