已知圆\(O\)：\(x^{2}+y^{2}=4\)，点\(A(- \sqrt{3},0)\)，\(B( \sqrt{3},0)\)，以线段\(AP\)为直径的圆\(C_{1}\)内切于圆\(O.\)记点\(P\)的轨迹为\(C_{2}\)．

\((1)\)证明：\(|AP|+|BP|\)为定值，并求\(C_{2}\)的方程；

\((2)\)过点\(O\)的一条直线交圆\(O\)于\(M\)，\(N\)两点，点\(D(-2,0)\)，直线\(DM\)，\(DN\)与\(C_{2}\)的另一个交点分别为\(S\)，\(T.\)记\(\triangle DMN\)，\(\triangle DST\)的面积分别为\(S_{1}\)，\(S_{2}\)，求\( \dfrac{S_{1}}{S_{2}}\)的取值范围．

已知在平面直角坐标系\(xOy\)内，两个定点\(A(1,0)\)，\(B(4,0)\)，且满足\(|PB|=2|PA|\)的点\(P(x,y)\)形成的曲线记为\(Γ\)．

\((1)\)求曲线\(Γ\)的方程；

\((3)\)设曲线\(Γ\)分别交\(x\)轴，\(y\)轴的正半轴于\(M\)，\(N\)两点，点\(Q\)是曲线\(Γ\)位于第三象限内的图象上的任意一点，连接\(QN\)交\(x\)轴于点\(E\)，连接\(QM\)交\(y\)轴于点\(F.\)求证：四边形\(MNEF\)的面积为定值．

设椭圆\(\dfrac{{{x}^{2}}}{16}+\dfrac{{{y}^{2}}}{12}=1\)上三个点\(M\)，\(N\)和\(T\)，且\(M\)，\(N\)在直线\(x=8\)上的射影分别为\({{M}_{1}},{{N}_{1}}\)．

\((1)\)若直线\(MN\)过原点\(O\)，直线\(MT\)，\(NT\)斜率分别为\({{k}_{1}},{{k}_{2}}\)，求证：\({{k}_{1}}\cdot {{k}_{2}}\)为定值；

\((2)\)若\(M\)，\(N\)不是椭圆长轴的端点，点\(L\)坐标为\(\left( 3,0 \right)\)，\(\Delta {{M}_{1}}{{N}_{1}}L\)与\(\Delta MNL\)面积之比为\(5\)，求\(MN\)中点\(K\)的轨迹方程．

已知直线\(C\)\({\,\!}_{1}\)：\(\begin{cases}x=1+tcoaα, \\ y=t\sin α\end{cases} \)\((t\)为参数\()\)，\(C\)\({\,\!}_{2}\)：\(\begin{cases}x=\cos θ, \\ y=\sin θ\end{cases} \)\((θ\)为参数\()\)．

\((1)\)当\(α=\dfrac{\pi }{3}\)时，求\(C_{1}\)与\(C_{2}\)的直角坐标方程，以及\(C_{1}\)与\(C_{2}\)交点的极坐标\((\rho \geqslant 0,\ \theta \in [0,\ 2\pi )\)；

\((2)\)过坐标原点\(O\)作\(C_{1}\)的垂线，垂足为\(A\)，\(P\)为\(OA\)中点，当\(α\)变化时，求\(P\)点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

已知定点\({{F}_{2}}(\sqrt{3},0)\)，\(P\)为圆\({{F}_{1}}\)：\({{(x+\sqrt{3})}^{2}}+{{y}^{2}}=24\)上任意一点，线段\(P{{F}_{2}}\)上一点\(N\)满足\( \overset{⇀}{P{F}_{2}}=2 \overset{⇀}{N{F}_{2}} \)，直线\(P{{F}_{1}}\)上一点\(Q\)，满足\( \overset{⇀}{QN}· \overset{⇀}{P{F}_{2}}=0 \)．

已知\(k∈R\)，直线\(l_{1}\)：\(x+ky=0\)过定点\(P\)，直线\(l_{2}\)：\(kx-y-2k+2=0\)过定点\(Q\)，两直线交于点\(M\)，则\(|MP|+|MQ|\)的最大值是\((\)   \()\)

当\(m\)变化时，抛物线\(y-4x-4my=0\)的顶点\(M\)的轨迹方程是\((\)   \()\)

选修\(4-4\)：坐标系与参数方程

  在直角坐标系\(xOy\)中，曲线\({{C}_{1}}\)的参数方程为\(\begin{cases} & x=2\cos \alpha \\ & y=2+2\sin \alpha \\ \end{cases}(\alpha \)为参数\()\)，\(M\)为\({{C}_{1}}\)上的动点，\(P\)点满足\(\overrightarrow{OP}=2\overrightarrow{OM}\)，点\(P\)的轨迹为曲线\({{C}_{2}}\)．

\((I)\)求\({{C}_{2}}\)的方程；

 \((II)\)在以\(O\)为极点，\(x\)轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线\(\theta =\dfrac{\pi }{3}\)与\({{C}_{1}}\)的异于极点的交点为\(A\)，与\({{C}_{2}}\)的异于极点的交点为\(B\)，求\(|AB|\)．