知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，圆C：x²-（1+a）x+y²-ay+a=0．
（1）若圆C的半径为
1
2
，求圆C的方程；
（2）已知a＞1，圆C与x轴相交于两点M，N（点M在点N的左侧）．过点M任作一条直线与圆O：x²+y²=4相交于两点A，B．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知圆C经过点A（3，2）和B（3，6）．
（I）求面积最小的圆C的方程；
（Ⅱ）若直线l过定点T（1，0），且与（I）中的圆C相切，求l的方程．

难度：中等

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3．已知直线x-2y+2=0与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为
2
5
5
．
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数y=x²的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线MN与圆C相切；
（3）若函数y=x²图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断线QR与圆C的位置关系，并加以证明．

难度：较难

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4．已知圆O：x²+y²=1与y轴的负、正半轴分别交于点F₁、F₂，垂直于y轴的直线m与二次函数y=
1
4
x2的图象交于不同的两点P，Q且
F1P
•
F2Q
=-5．
（1）判断直线m与圆O的位置关系；
（2）过点M（-3，0）作直线l与圆O交于A，B两点，设
MA
=λ
MB
，若λ∈[
3
2
，2]，求|
MA
+
MB
|的取值范围．

难度：较难

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5．已知M（2，0），N（0，-2），C为MN中点，点P满足CP=
1
2
MN．
（1）求点P构成曲线的方程．；
（2）是否存在过点（0，-1）的直线l与（1）所得曲线交于点A、B，且A、B在y轴上投影为D、E，使
OD
•
OE
=1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

难度：较难

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6．如图，直角三角形ABC的顶点坐标A（-2，0）、B（0，-2
2
），顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点，设圆M是△ABC的外接圆，若DE是圆M的任意一条直径，试探究
PD
•
PE
是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

难度：较难

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7．已知圆C的方程：x²+y²+2x+4y-3=0．
（1）若P（x，y）是圆C上一点，求表达式x+y的取值范围；
（2）若P（x，y）是圆C上一点，求（x-2）²+（y+1）²的取值范围．

难度：中等

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8．已知点A（1，2），B（-3，-1），若圆x²+y²=r²（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是．

难度：较易

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9．一辆货车要通过跨度为12m，拱高为4m的圆弧形隧道（隧道正中通过），如果货车宽为2m，则货车的限高为多少？（精确到0.01m）

难度：中等

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10．（1）已知两圆x²+y²-10x-10y=0，x²+y²+6x-2y-40=0，求它们的公共弦所在直线的方程；
（2）已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点，求动弦AB的中点P的轨迹方程．

难度：中等

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