知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设抛物线y²=8x的交点为F，定直线l：x=4，P为平面上一动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且（
PQ
+
2
PF
）•（（
PQ
-
2
PF
）=0
（1）求点P的轨迹C的方程；
（2）直线l是圆O：x²+y²=r²的任意一条切线，l与曲线C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．

难度：较难

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2．函数f（x）=log_a（x-4）-1（a＞0，a≠1）所经过的定点为（m，n），圆C的方程为（x-m）²+（y-n）²=r²（r＞0），直线
3
x+y+1-2
3
=0被圆C所截得的弦长为
73
．
（1）求m、n以及r的值；
（2）设点P（2，-1），探究在直线y=-1上是否存在一点B（异于点P），使得对于圆C上任意一点T到P，B两点的距离之比
|TB|
|TP|
=k（k为常数）．若存在，请求出点B坐标以及常数k的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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3．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=
2
3
x
（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的
1
2
？若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

难度：较难

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4．已知点P（x，y）在圆x²+y²-6x-6y+14=0上．
（1）求
y
x
的最大值和最小值；
（2）求x²+y²+2x+3的最大值与最小值．

难度：中等

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5．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ；
（1）设圆C₀：x²+y²=1，求过P（2，0）的直线关于圆C₀的距离比λ=
3
的直线方程；
（2）若圆C与y轴相切于点A（0，3），且直线y=x关于圆C的距离比λ=
2
，求此圆C的方程；
（3）是否存在点P，使过P的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆C₁：（x+1）²+y²=1与C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的距离比始终相等？若存在，求出相应的P点坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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6．已知圆C的方程为：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线3x+4y-6=0交于M、N两点，且|MN|=2
3
，求m的值；
（3）设直线x-y-1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知点P为圆C₁：（x-3）²+（y-4）²=4上的动点
（1）若点Q为直线l：x+y-1=0上动点，求|PQ|的最小值与最大值；
（2）若M为圆C₂：（x+1）²+（y-1）²=4上动点，求|PM|的最大值和最小值．

难度：较难

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8．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，求下列各式的最大值与最小值．
（1）
y
x
；
（2）
y-1
x-4
；
（3）
7x
3y+6
；
（4）y-x；
（5）2x+3y；
（6）x²+y²；
（7）x²-10x+y²-14y．

难度：中等

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9．如图所示，某机械转动的三个齿轮啮合传动．若A轮的直径为180mm，B、C两轮的直径都是120mm，且∠ABC=70°，求A、C两齿轮的中心距离（精确到1mm）．

难度：较易

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10．已知m∈R，直线l：mx-（m²+1）y=4m和圆C：x²+y²-8x+4y+16=0
（Ⅰ）求直线l斜率的取值范围；
（Ⅱ）是否存在直线l，使直线l将圆分割成弧长的比值为
1
3
的两段圆弧？若存在，求出直线1的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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