知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，一抛物线型拱桥的拱顶O离水面高4米，水面宽度AB=10米．现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长20米，宽6米，高2.58米（竹排与水面持平），问货箱能否顺利通过该桥？

难度：中等

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2．（2015秋•福建校级期末）如图，有一块抛物线形钢板，其下口宽为2米，高为2米．计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是抛物线的下口，上底CD的端点在抛物线上．
（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求抛物线形钢板所在抛物线方程；
（Ⅱ）记CD=2x，写出梯形面积S以x为自变量的函数关系式，并指出定义域；
（Ⅲ）求面积S的最大值．

难度：中等

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3．有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P（-1，0）且斜率为k的直线，求k的取值范围．

难度：中等

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4．已知圆C与x轴的交点分别为A（-1，0），B（3，0），且圆心在直线2x-y=0上．
（I）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）求与圆C相切于点B（3，0）的切线方程；
（Ⅲ）若圆C与直线y=x+m有公共点，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（　　）

A．560m³

B．540m³

C．520m³

D．500m³

难度：中等

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6．奥运会的圣火采集器是一个凹面镜，这个凹面镜与其轴截面的交线是一条抛物线，如图1所示，太阳光经凹面镜反射会聚于点火点，把火炬放在点火点处，即可被点燃．已知凹面镜的镜口直径是a，镜深是b．求点火点到凹面镜的顶点的距离．

难度：中等

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7．某圆拱桥的水面跨度16米，拱高4米，有一货船，装满货过桥，顶部宽4米，水面以上高3米，请问此船能否在此通过？

难度：中等

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8．综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚．例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒直径为0.6m，长为2m的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示．其中，一个反射镜PO₁Q弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜MO₂N弧所在的曲线为双曲线的一个分支．已知F₁，F₂是双曲线的两个焦点，其中F₂同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：mm），分别求抛物线和双曲线的方程．

难度：中等

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9．有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9m，AB=10m，BC=2.4m．现把隧道的横断面放在平面直角坐标系中，若有一辆高为4m，宽为2m的装有集装箱的汽车要通过隧道．问：如果不考虑其他因素，汽车的右侧离开隧道右壁至少多少米才不至于碰到隧道顶部（抛物线部分为隧道顶部，AO、BC为壁）？

难度：中等

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10．如图是抛物线型拱桥，在平时，水面离拱顶3米，水面宽为2
6
米，由于连续降雨，水位上涨了1米，则此时水面宽为．

难度：中等

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