知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
，F₁、F₂为其左右焦点，点P在C上，且
PF2
•
F1F2
=0，
PF1
•
PF2
=2，O是坐标原点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过F₂的直线l与双曲线C交于A，B两点，求
F1A
•
F1B
的取值范围．

难度：较难

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2．已知双曲线C以椭圆
x2
4
+
y2
3
=1的顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点．过双曲线C的右焦点的直线l交双曲线于A、B两点．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若△OAB的面积（其中O为坐标原点）为6，求直线l的方程．

难度：较难

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3．若m∈R讨论方程：（m-3）x²+（5-m）y²=1表示怎样的曲线．

难度：中等

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4．
椭圆c：（a>b>0）的离心率为，过其右焦点F与长轴垂直的弦长为1，
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的左右顶点分别为A，B，点P是直线x=1上的动点，直线PA与椭圆的另一个交点为M，直线PB与椭圆的另一个交点为N，求证：直线MN经过一定点.

难度：难

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5．已知双曲线C的两个焦点分别为F1(-2
2
，0)、F2(2
2
，0)，双曲线上一点P到F₁、F₂的距离的差的绝对值等于4．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若直线y=kx-1与双曲线C没有公共点，求实数k的取值范围．

难度：中等

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6．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）半实轴长为4，半虚轴长为3；
（2）实轴长为12，焦距为14，焦点在y轴上；
（3）渐近线方程为y=±
3
5
x，焦点坐标为（±
2
，0）．

难度：较易

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7．已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，一条渐近线的倾斜角为
π
3
，点（-4，-6）在双曲线上，直线1的方程为x-my-4=0．
（1）求双曲线的方程；
（2）若l与双曲线的右支相交于A，B两点，试证：以AB为直径的圆M必与双曲线的右准线相交．

难度：中等

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8．已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0），双曲线的渐近线过点A（2，
3
），且双曲线过点B（4，3）．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的左右顶点分别为A₁，A₂，点P在C上且直线PA₁斜率的取值范围是[
1
2
，
2
2
]，求直线PA₂的斜率的取值范围．

难度：较易

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9．求出适合双曲线曲线方程：与双曲线
x2
9
-
y2
16
=1有公共的渐近线，且经过点A（2，3）．

难度：较易

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10．求与椭圆x²+4y²=64共焦点，且一条渐近线方程是x+
3
y=0的双曲线的标准方程．

难度：中等

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