知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．给出下列命题：
①双曲线
x2
25
-
y2
9
=1与椭圆
x2
35
+y²=1有相同的焦点；
②过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y²=
1
2
x；
③已知双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1，若它的离心率为
5
，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x；
④椭圆
x2
m+1
+
y2
m
=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2．
其中真命题的序号为．（写出所有真命题的序号）

难度：中等

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2．下列四个关于圆锥曲线的命题：
①已知M（-2，0）、N（2，0），|PM|+|PN|=3，则动点P的轨迹是一条线段；
②从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于它的虚半轴长；
③双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
16
+
y2
9
=1有相同的焦点；
④关于x的方程x²-mx+1=0（m＞2）的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率．
其中正确的命题是．（填上你认为正确的所有命题序号）

难度：中等

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3．以下五个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线
x2
16
-
y2
9
=1与椭圆
x2
49
+
y2
24
=1有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|-|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若
OP
=
1
2
(
OA
+
OB
)，则动点P的轨迹为椭圆．
其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）

难度：较难

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4．曲线

=1与曲线

a2-m

b2-m

=1有相同的（　　）

A．长轴长

B．短轴长

C．焦距

D．离心率

难度：较难

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5．

如图，已知|AB|=10，图中的一系列圆是圆心分别为A、B的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n，…．利用这两组同心圆可以画出以A、B为焦点的椭圆或双曲线．若其中经过点M、N的椭圆的离心率分别是e_M，e_N，经过点P，Q的双曲线的离心率分别是e_P，e_Q，则它们的大小关系是（　　）

A．e_M＜e_N＜e_Q＜e_P

B．e_N＜e_M＜e_P＜e_Q

C．e_P＜e_Q＜e_M＜e_N

D．e_Q＜e_N＜e_M＜e_P

难度：较难

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6．设α∈（0，

），则方程x²sinα+y²cosα=1表示的曲线为（　　）

A．焦点在y轴上的椭圆

B．焦点在y轴上的双曲线

C．焦点在x轴上的椭圆

D．焦点在x轴上的双曲线

难度：较易

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7．在平面直角坐标系中，已知向量
a
=（x，y-2），
b
=（kx，y+
2
）（k∈R），
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为T．求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状．

难度：较难

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8．方程
x2
4-t
+
y2
t-1
=1表示曲线C，给出以下命题：
①曲线C不可能为圆；
②若曲线C为双曲线，则t＜1或t＞4；
③若1＜t＜4，则曲线C为椭圆；
④若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜
5
2
．
其中真命题的序号是    （写出所有正确命题的序号）．

难度：较难

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9．已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点（4，0），其中双曲线的一条渐近线方程为y=
3
x，求三条曲线的标准方程．

难度：中等

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10．若θ是任意实数，则方程x²+4y²sinθ=1所表示的曲线一定不是（　　）

A．抛物线

B．双曲线

C．直线

D．圆

难度：较难

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