知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•丰台区二模）已知椭圆w：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（0，
2
），椭圆w上任意一点到两焦点的距离之和为4．
（Ⅰ）求椭圆w的方程；
（Ⅱ）如图，设直线l：y=kx（k≠0）与椭圆w交于P，A两点，过点P（x₀，y₀）作PC⊥x轴，垂足为点C，直线AC交椭圆w于另一点B．
①用直线l的斜率k表示直线AC的斜率；
②写出∠APB的大小，并证明你的结论．

难度：中等

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2．已知定圆A：(x+
3
)2+y2=16，动圆M过点B(
3
，0)，且和圆A相切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点P、Q，点N（4，0）．若P、Q、N三点不共线，且∠ONP=∠ONQ．证明：动直线PQ经过定点．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
4
+
y2
2
=1的焦点分别为F₁，F₂．
（Ⅰ）求以线段F₁，F₂为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）任作一条直线l与椭圆C交于不同的两点M，N．在x轴上是否存在点Q，使得∠PQM+∠PQN=180°？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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4．已知圆M：x2+y2-2
3
x=0的圆心是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点，过椭圆的左焦点和上顶点的直线与圆M相切．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）椭圆C上有两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），OA、OB斜率之积为-
1
4
，求
x
2
1
+
x
2
2
的值．

难度：中等

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5．已知双曲线C的渐近线方程为y=±x，一条准线方程为x=
2
2
．
（1）求双曲线C的方程；
（2）设过点M（-2，0）的直线l交双曲线C于A、B两点，并且三角形OAB的面积为2
3
，求直线l的方程；
（3）在（2）中是否存在这样的直线l，使OA⊥OB？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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6．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为
1
2
，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F₁，F₂构成的三角形中面积的最大值为
3
．
（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；
（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF₂与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点P，并求
PA
•
F2C
的取值范围．

难度：较难

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7．（2016•广西模拟）如图，椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，焦距为2
2
，直线x=-a与y=b交于点D，且|BD|=3
2
，过点B作直线l交直线x=-a于点M，交椭圆于另一点P．
（1）求椭圆的方程；
（2）证明：
OM
•
OP
为定值．

难度：较难

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8．已知焦点在y轴上的椭圆E的中心是原点O，离心率等于
3
2
，以椭圆E的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4
5
，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆E交于A、B两个相异点，且
AP
=λ
PB
．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若
AP
=3
PB
，求m²的取值范围．

难度：中等

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9．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点与抛物线y2=4
2
x的焦点重合，连接该椭圆的四个顶点所得四边形的面积为2
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同两点M、N，设椭圆C位于y轴负半轴上的短轴端点为A，若三角形AMN是以线段MN为底边的等腰三角形，求m的取值范围．

难度：较难

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10．直线y=x+m与双曲线2x²-y²=2交于A，B两点，若以AB为直径的圆过原点，求m的值及弦AB的长．

难度：中等

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