知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•宁夏校级月考）如图，已知圆G：x²+y²-2x-
2
y=0经过椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过椭圆外一点（m，0）（m＞a）且倾斜角为
5
6
π的直线l交椭圆于C，D两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若
FC
•
FD
=0，求m的值．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1，（a＞b＞0）的离心率为
6
3
，且过点（1，
6
3
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：x²+y²=
3
4
相切的直线L交椭圆于A，B两点，M为圆O上的动点，求△ABM面积的最大值，及取得最大值时的直线L的方程．

难度：中等

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3．已知双曲线C的中心在坐标原点，焦距2c=6，一条准线方程为x=2
（1）求双曲线C的方程；
（2）若双曲线C的渐近线与圆（x-3）²+y²=r²（r＞0）相切，求实数r的值．

难度：中等

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4．设点P（m，n）在圆x²+y²=2上，l是过点P的圆的切线，切线l与函数y=x²+x+k（k∈R）的图象交于A，B两点，点O是坐标原点．
（I）若k=-2，点P恰好是线段AB的中点，求点P的坐标；
（Ⅱ）是否存在实数k，使得以AB为底边的等腰△OAB恰有三个？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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5．已知圆C₁的方程为x²+y²=2，抛物线C₂的方程为y²=4x，过直线x=-2上的动点T（-2，t）作圆C₁的两条切线，设切点分别为A和B．
（1）求直线AB的方程（用t来表示）；
（2）当直线AB和抛物线C₂相切于点C，且点B介于A和C之间时，求△BOC的面积（O为原点）．

难度：中等

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6．已知椭圆G：
x2
4
+y²=1，过点（0，2）作圆x²+y²=1的切线l交椭圆G于A，B两点，
（1）求椭圆G的焦点坐标和离心率．
（2）O为坐标原点，求△OAB的面积．

难度：中等

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7．已知椭圆
x2
4
+
y2
3
=1，若点P是椭圆上的动点，GH是圆（x+1）²+y²=1的直径，试求
PG
•
PH
的最大值．

难度：中等

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8．已知圆M：（x-2）²+y²=
1
4
上一动点P，抛物线C：x²=y上存在两动点A（x₁，y₁），B （x₂，y₂）
（1）若M，A，B三点共线，求
x1•x2
x1+x2
的值
（2）设直线AB的方程为y=kx+m，已知|AB|=
(k2+1)(-8k-3)
（k＜-
3
8
），求点P到直线AB的距离d的最小值．

难度：中等

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9．过圆O：x²+y²=r²（r＞0）上一点M作圆O的切线l与椭圆E：
x2
16
+
y2
36
=1交于点A，B两点．
（1）若点M的坐标为（2，2），r=2
2
，点C的坐标为（4，4），求
CA
•
CB
的值
（2）若r=1，直线l与椭圆E交于C，D两点，且N是线段CD的中点，求中点N的轨迹方程．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b）的离心率为
2
2
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2，直线l：y=kx+m（m≠0）与椭圆交与不同的两点A，B
（1）求椭圆C的方程
（2）若线段AB中点的横坐标为
m
2
，求k的值
（3）若以弦AB为直径的圆经过椭圆的右顶点M，则直线l是否经过定点（除右顶点外）？若经过，求出定点坐标，否则，请说明理由．

难度：中等

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