知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•三亚校级模拟）如图，三棱柱ABC-A₁BC₁的底面是边长为2的正三角形，侧棱A₁A⊥底面ABC，D为A₁A的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁DC⊥平面B₁BCC₁；
（Ⅱ）若∠B₁DC=90°，求点A到平面B₁DC的距离．

难度：中等

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2．在三棱锥P-ABCD中，底面ABC为直角三角形，AB=BC，PA⊥平面ABC．
（1）证明：BC⊥PB；
（2）若D为AC的中点，且PA=2AB=4，求点D到平面PBC的距离．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M为OA的中点．
（1）求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小；
（2）求点A到平面OBC的距离．

难度：中等

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4．如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=
6
．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求O点到平面ACD的距离．

难度：中等

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5．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，D，E分别为CC₁和A₁B₁的中点，且A₁A=AC=2AB=2．
（1）求证：C₁E∥面A₁BD；
（2）求点C₁到平面A₁BD的距离．

难度：中等

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6．（2015春•广州校级期末）如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，已知AA₁=AC=2，AB=
2
，O、O₁分别是上下底面ABCD和A₁B₁C₁D₁的对角线的交点，E是BC的中点．
（1）求证：C₁E∥平面ABO₁；
（2）求证：BD⊥平面ACO₁；
（3）求点A到平面BCO₁的距离．

难度：中等

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7．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点C在平面A₁B₁C₁内的射影为A₁B₁的中点O，AC=BC=AA₁，∠ACB=90°
（1）求证：AB⊥CC₁；
（2）若CO=
2
2
，求点C到平面ABO的距离．

难度：中等

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8．如图，正四面体ABCD的棱长为1．
（1）求异面直线AB、CD之间的距离；
（2）求点A到平面BCD的距离；
（3）求点E到平面ACD的距离．

难度：中等

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9．如图，三棱柱中ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面ABC垂直，且AB₁⊥BC₁，AB=AA₁=1，BC=2．
（I）证明：AB₁⊥A₁C₁；
（Ⅱ）求点A₁到平面ABC₁的距离．

难度：中等

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10．如图所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB=1，D是棱BB₁上的点，且BD=1，求：
（1）AD与平面BB₁C₁C所成角的余弦值．
（2）点B到平面ADC的距离．

难度：较易

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