知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2015秋•新余期末）如图，四棱锥P-ABCD中，平面PAC⊥底面ABCD，BC=CD=
1
2
AC=2，∠ACB=∠ACD=
π
3

（1）证明：AP⊥BD．
（2）若AP=
7
，且三棱锥B-APC的体积为2时，求二面角A-BP-C的余弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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3．如图，四棱锥P-ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，△PCD是等边三角形，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，BC⊥CD，AD=2BC=2
2
．
（1）若AB⊥PB，求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）在（1）的条件下，求二面角P-AB-D的大小．

难度：中等

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4．（2015秋•绍兴校级期中）如图，弧
AEC
是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧
AC
的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=
5
a，FE=
6
a．
（Ⅰ）证明：EB⊥FD；
（Ⅱ）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得
FQ
=λ
FE
，
FR
=λ
FB
，求当RD最短时，平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．

难度：中等

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5．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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6．如图所示，多面体A₁B₁D₁DCBA是长方体A₁B₁C₁D-ABCD被平面B₁CD₁截去一个三棱锥后所得的几何体，M为B₁D₁的中点，过A₁、D、M的平面交CD₁于点N．
（1）证明：MN∥B₁C；
（2）若AB=AD=2，AA₁=4，求二面角A-MN-B的余弦值．

难度：中等

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7．在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PDC，PD⊥DC，底面ABCD是梯形，AB∥DC，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求异面直线PA，BC所成角；
（2）设Q为棱PC上一点，
PQ
=λ
PC
，试确定λ的值，使得二面角Q-BD-P为60°．

难度：中等

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8．如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁．
（1）求直线DD₁与平面AB₁C所成角的正弦值；
（2）求平面AB₁C与平面AB₁D₁所成角的余弦值．

难度：中等

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9．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′中，AD=2AB=2AA′=2．
（1）求证：A′B⊥平面ADC′；
（2）求二面角D′-AC-D的正切值．

难度：中等

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10．如图所示，AD∥BC∥EF，平面ADFE⊥平面BCFE，AE⊥EF，BE⊥EF，AD=AE=BE=2，EF=3，BC=4，G为BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求二面角D-BF-C的余弦值．

难度：中等

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