知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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2．（2016•晋中一模）如图，在几何体ABCDEF中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，FB=
10
，M，N分别为EF，AB的中点．
（I）求证：MN∥平面FCB；
（Ⅱ）若直线AF与平面FCB所成的角为30°，求平面MAB与平面FCB所成角的余弦值．

难度：较难

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3．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．如图所示的几何体中，ABC-A₁B₁C₁为三棱柱，且AA₁⊥平面ABC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD，∠ADC=60°．
（Ⅰ）若AA₁=AC，求证：AC₁⊥平面A₁B₁CD；
（Ⅱ）若CD=2，AA₁=λAC，二面角C-A₁D-C₁的余弦值为
2
4
，求三棱锥C₁-A₁CD的体积．

难度：较难

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5．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=
3
，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

难度：较难

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6．（2015秋•廊坊期末）如图所示，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，若CD₁垂直于平面ABCD，且CD1=
3
，M是线段AB的中点．
（1）求证：BC⊥AD₁；
（2）设N是线段AC上的一个动点，问当
CN
AC
的值为多少时，可使得D₁N与平面C₁D₁M所成角的正弦值为
1
5
，并证明你的结论．

难度：较难

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7．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，OA=4，OB=3，OP=4，OP⊥底面ABCD，设点M满足
PM
=λ
MC
（λ＞0）．
（1）当λ=
1
2
时，求直线PA与平面BDM所成角的正弦值；
（2）若二面角M-AB-C的大小为
π
4
，求λ的值．

难度：较难

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8．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=BB₁，直线B₁C与平面ABC成30°角．
（I）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角B-B₁C-A的大小．

难度：较难

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9．在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=
6
，PB=
2
，PC=2，当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角A-BP-C的大小．

难度：较难

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10．已知△ABC与△DBC都是边长为
2
3
3
的等边三角形，且平面ABC⊥平面DBC，过点A作PA⊥平面ABC，且AP=2．
（1）求直线PD与平面ABC所成角的大小；
（2）求二面角P-AD-C的余弦值；
（3）在线段PC上是否存在点E，使BE⊥平面ACD，并说明理由．

难度：较难

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