知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．
如图，在四棱锥\(P-ABCD\)中，\(∠ABC=∠ACD=90^{\circ}\)，\(∠BAC=∠CAD=60^{\circ}\)，\(PA⊥\)平面\(ABCD\)，\(PA=2\)，\(AB=1.\)设\(M\)，\(N\)分别为\(PD\)，\(AD\)的中点．
\((1)\)求证：平面\(CMN/\!/\)平面\(PAB\)；
\((2)\)求二面角\(N-PC-A\)的平面角的余弦值．

难度：较易

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2．
如图，在四棱柱\(ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\)中，\(AA_{1}⊥\)平面\(ABCD\)，\(AB/\!/CD\)，\(AB⊥AD\)，\(AD=CD=1\)，\(AA_{1}=AB=2\)，\(E\)为\(AA_{1}\)的中点．
\((\)Ⅰ\()\)求四棱锥\(C-AEB_{1}B\)的体积；
\((\)Ⅱ\()\)设点\(M\)在线段\(C_{1}E\)上，且直线\(AM\)与平面\(BCC_{1}B_{1}\)所成角的正弦值为\( \dfrac {1}{3}\)，求线段\(AM\)的长度；
\((\)Ⅲ\()\)判断线段\(B_{1}C\)上是否存在一点\(N\)，使得\(NE/\!/CD\)？\((\)结论不要求证明\()\)

难度：较易

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3．

如图，在三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)中，\(AB\bot \)平面\(A{{A}_{1}}{{C}_{1}}C\)，\(A{{A}_{1}}=AC\)\(.\)过\(A{{A}_{1}}\)的平面交\({{B}_{1}}{{C}_{1}}\)于点\(E\)，交\(BC\)于点\(F\)．

\((\)Ⅰ\()\)求证：\({{A}_{1}}C\bot \)平面\(AB{{C}_{1}}\)；

\((\)Ⅱ\()\)求证：\({{A}_{1}}A\,{/\!/}\,EF\)；

\((\)Ⅲ\()\)记四棱锥\({{B}_{1}}-A{{A}_{1}}EF\)的体积为\({{V}_{1}}\)，三棱柱\(ABC-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)的体积为\(V.\)若\(\dfrac{{{V}_{1}}}{V}=\dfrac{1}{6}\)，求\(\dfrac{BF}{BC}\) 的值．

难度：中等

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4．
设如图是某几何体的三视图，求该几何体的体积和表面积．

难度：中等

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5．
已知四棱锥\(P-ABCD\)，底面\(ABCD\)是\(\angle A={{60}^{\circ }}\)、边长为\(2\)的菱形，又，且\(PD=CD\)，点\(M\)、\(N\)分别是棱\(AD\)、\(PC\)的中点．

\((1)\)证明：\(DN/\!/\)平面\(PMB\)；

\((2)\)证明：平面 \(PMB\bot \)平面\(PAD\)；

\((3)\)求二面角\(P-BC-D\)的余弦。

难度：中等

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6．
在正三棱锥\(S-ABC\)中，\(M\)是\(SC\)的中点，且\(AM⊥SB\)，底面边长\(AB=2\sqrt{2} \)，则正三棱锥\(S-ABC\)外接球的体积为_____________．

难度：难

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7．
如图，在长方体\(ABCD—{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1} \)中，\(AD=A{A}_{1}=1 \)，\(AB=2 \)，点\(E\)在棱\(AB\)上．

\((1)\)求异面直线\(D_{1}E\)与\(A_{1}D\)所成的角；
\((2)\)若平面\(D_{1}EC\)与平面\(ECD\)的夹角大小为\(45^{\circ}\)，求点\(B\)到平面\(D_{1}EC\)的距离．

难度：中等

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8．

底面边长为\(1\)、侧棱长为\(2\)的正四棱柱\(ABCD-{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\)的\(8\)个顶点都在球\(O\)的表面上，\(E\)是侧棱\(A{{A}_{1}}\)的中点，\(F\)是正方形\(ABCD\)的中心，则直线\(EF\)被球\(O\)所截得的线段长为_____．

难度：难

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9．
棱长为\(2cm\)的正方体容器盛满水，把半径为\(1cm\)的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为____

难度：易

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