知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1． △ABC中，点A（4，-1），AB的中点为M（3，2），重心为P（4，2），求边BC的长．

难度：中等

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2．如图，在△ABC中，G为重心，I为内心．若GI∥BC，证明：AB，BC，CA三边长成等差数列．

难度：中等

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3．求证：△ABC的外心S，重心G，垂心H在一条直线上，且G分
HS
得比为2：1．

难度：中等

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4．如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC．
（Ⅰ）求证：OD∥平面PAB；
（Ⅱ）当k=
1
2
时，求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；
（Ⅲ）当k取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？
（注：若△ABC的三点坐标分别为A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），C（x₃，y₃，z₃），则该三角形的重心坐标为：(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
，
z1+z2+z3
3
)．）

难度：较难

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5．如图，△ABC的三个顶点均在函数y=
1
x
的图象上，试判断△ABC的垂心（△ABC三条高线的交点叫△ABC的垂心）H是否也在y=
1
x
的图象上，并说明理由．

难度：中等

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6．（1）设G是△ABC的重心，证明：△GBC，△GAC，△GAB的面积相等．
（2）利用（1）的结论，证明：三角形顶点到重心的距离，等于重心到对边中点的距离的2倍．

难度：中等

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7．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°．CM与BN相交于点G，且CM⊥BN．若G是△ABC的重心，BC=2．求BN的长．

难度：中等

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8．若△ABC的外接圆圆心O，垂心是H，求证：
OH
=
OA
+
OB
+
OC
．

难度：中等

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9．已知△ABC的垂心为H，△HBC，△HCA，△HAB的外心分别为O₁，O₂，O₃，令
HA
=
a
，
HB
=
b
，
HC
=
c
，
HO1
=
p
，求证：
（1）2
p
=
b
+
c
-
a
；
（2）H为△O₁O₂O₃的外心．

难度：中等

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10．已知在△ABC中，重心H的坐标是（5，2），点A的坐标是（-10，2），点B的坐标是（6，4），求点C的坐标．

难度：较易

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