知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图所示，四棱锥P-ABCD的侧面PAD是边长为2的正三角形，底面ABCD是∠ABC=60°的菱形，M为PC的中点，PC=
6
．
（Ⅰ）求证：PC⊥AD；
（Ⅱ）求三棱锥M-PAB的体积．

难度：中等

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2．（2016•怀化二模）如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁的中点，F是AB中点，AC=BC=1，AA₁=1．
（1）求证：CF∥平面AEB₁；
（2）求三棱锥C-AB₁E在底面AB₁E上的高．

难度：中等

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3．（2016•广元二模）如图，三棱锥P-ABC中，PA=PC，AB=BC，E，F分别是PA，AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求证：EF⊥AC．

难度：中等

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4．四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，2AD=BC=2a（a＞0），AD∥BC，PD=
3
a，∠DAB=θ
（Ⅰ）若θ=60°，AB=2a，Q为PB的中点，求证：DQ⊥PC；
（Ⅱ）若θ=90°，AB=
3
a，M为BC中点，试在PC上找一点N，使PA∥平面DMN．

难度：中等

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5．（2015秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．
①在平面PAB内不存在直线与DC平行；
②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；
③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；
上述命题中正确命题的序号为．

难度：中等

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6．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC，求证：
（Ⅰ）PC∥平面BED；
（Ⅱ）BC⊥PC．

难度：中等

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7．三棱锥A-BCD中，E是BC的中点，AB=AD，BD⊥DC，求证：AE⊥BD．

难度：中等

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8．如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB=CD，EC⊥BD．
（1）求证：BE=DE；
（2）若∠BCD=120°，是否在线段AE上存在一点M，使得DM∥平面EBC，若存在，请指出点M的位置；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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9． P为△ABC所在平面外一点，PO⊥面ABC于O．证明：
（1）若PA=PB=PC，则O为△ABC的外心；
（2）若PA⊥BC，PC⊥AB，则PB⊥AC，且O为△ABC的垂心；
（3）若PA，PB，PC两两垂直，则O为△ABC的垂心；
（4）若P到△ABC各边的距离相等（且O在三角形的内部），则O为△ABC的内心．

难度：中等

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10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上．若平面AEC⊥平面PBC，求E点位置．

难度：较易

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