知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知某几何体直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
（Ⅰ）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设θ为直线C₁N与平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB₁并求
BP
PC
的值．

难度：中等

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2．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为菱形，且∠BAD=60°，对角线AC与BD相交于O；OF⊥平面ABCD，BC=CE=DE=2EF=2．
（Ⅰ）求证：EF∥BC；
（Ⅱ）求直线DE与平面BCFE所成角的正弦值．

难度：中等

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3．已知线段AD∥平面α，且与平面α的距离等于4，点B是平面α内动点，且满足AB=5，AD=10．则B、D两点之间的距离的最大值为．

难度：较难

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4．（2015秋•肇庆期末）如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且SA=AB=2．
（Ⅰ）若平面SAB∩平面SDC=SH，求证：AB∥SH；
（Ⅱ）求直线SC与平面SAB所成的角的正弦值．

难度：中等

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5．四棱锥S-ABCD中，已知
AC
=（1，1，1），
AD
=（10，-5，5），
AB
=（-1，2，0），
SA
=（2，1，-3）．
（1）求证：BC∥AD；
（2）四边形ABCD的面积；
（3）求四棱锥S-ABCD的体积，并说明理由．

难度：中等

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6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=2，BC=4，E为线段AB上的动点（异于A、B），EF∥AD交CD于点F，沿EF折叠使二面角A-EF-B为直二面角．
（I）在线段BC上是否存在点M，使DM∥面AEB？若存在，则求出BM的长；若不存在，则说明理由；
（Ⅱ）若直线AC与面DCF所成的角为θ，求sinθ的取值范围．

难度：中等

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7．已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠ACB=90°，BE=GE，AG=A′G，F是线段A′C上的点，EF∥平面ACB．
（I）求证：BC⊥AF；
（2）若
CF
CA′
=λ，求λ的值．

难度：中等

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8．已知平面α，β，γ，且α⊥γ，β∥α，求证：β⊥γ．

难度：中等

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9．已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．

难度：较易

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10．如图，四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC=PD=2．
（1）求证：PC⊥BC；
（2）如图（1），若O、F分别是BD、PD中点，Q在线段PA上，满足AO∥平面BFQ，求
AQ
QP
的值；
（3）如图（2），若E为PC的中点，CB=3CG，AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，说明理由．

难度：中等

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