知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•赣州模拟）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，G为ABC的重心，延长线段AG交BC于F，B₁F交BC₁于E．
（1）求证：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）平面AFB₁分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．

难度：中等

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2．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2
17
，点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH．
（Ⅰ）证明：GH∥EF；
（Ⅱ）若EB=2，求四棱锥D-GEFH的体积．

难度：较难

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3．如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（1）若正方体的棱长为1，求三棱锥B₁-A₁BE的体积；
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥面A₁BE？若存在，试确定点F的位置，并证明你的结论．

难度：中等

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4．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
2
，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）当t=3
2
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
AE
EP
的值；
（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

难度：中等

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5．如图已知：菱形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠ABE=60°，∠BAD=∠CDA=90°，点H，G分别是线段EF，BC的中点．
（1）求证：平面AHC⊥平面BCE；
（2）试问在线段EF上是否存在点M，使得MG∥平面AFD，若存在求FM的长并证明，若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．（2013•运城校级三模）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC=2，EA⊥EB．
（1）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；
（2）线段EA上是否存在点F，使CE∥平面FBD？若存在，求出
EF
EA
；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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7．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是梯形，AB∥CD，且AB=
2
3
CD，试问在PC上能否找到一点E，使得BE∥平面PAD？若能，请确定点E的位置，并给出证明；若不能，请说明理由．

难度：中等

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8．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD和底面BCD垂直，点F是棱CD上的动点，E，O分别是AD，BD的中点，已知AB=AD=
2
，BD=2CD，∠BAD=∠BDC=90°．
（1）证明：不论点F在棱CD上如何移动，总有OE⊥AF；
（2）求四面体F-DEO的体积的最大值．

难度：中等

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9．已知三棱锥E-ABD各个面均为直角三角形，且Rt△ADE的直角顶点为A，其中AE=AB，∠ABD=
π
6
，以AB为直径在平面ABD内画圆，且经过点D，任取圆上一点C（不与A，B两点重合）．
（1）求证：△BCE为直径三角形；
（2）若四边形ABCE为一个等腰梯形，且BC=1，求几何体C-BDE的体积．

难度：中等

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10．如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对于棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

难度：中等

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