知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．（2016•莆田一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD是正三角形，PD⊥CD，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角B-DE-C的余弦值．

难度：较难

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2．如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，A₁O⊥底面ABCD，AB=AA₁=2．
（I）证明：平面A₁CO⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）若∠BAD=60°，求二面角B-OB₁-C的余弦值．

难度：较难

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3．（2016春•赣州校级月考）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，B₁B=B₁A=AB=BC，∠B₁BC=90°，D为AC的中点，AB⊥B₁D．
（I）求证：平面ABB₁A⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁（不含端点）上，是否存在点E，便得二面角E-B₁D-B的余弦值为-
7
14
？若存在，求出
|CE|
|CC1|
的值，若不存在，说明理由．

难度：较难

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4．如图几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD=120°，CB=CD=CE=1，AB=AD=AE=
3
，且EC⊥BD．
（1）求证：平面BED⊥平面AEC；
（2）M是棱AE的中点，求证：DM∥平面EBC；
（3）求二面角D-BM-C的平面角的余弦值．

难度：较难

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5．三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边中点，且CC₁=2AB．
（Ⅰ）求证：平面C₁CD⊥平面ADC₁；
（Ⅱ）求证：AC₁∥平面CDB₁；
（Ⅲ）求三棱锥D-CAB₁的体积．

难度：较难

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6．（2015秋•娄底期末）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=BB₁=1，B₁C=2．
（Ⅰ）求证：平面B₁AC⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求直线A₁C与平面B₁AC所成角的正弦值．

难度：较难

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7．如图所示，四边形ABCD是菱形，O是AC与BD的交点，SA⊥平面ABCD
（Ⅰ）求证：平面SAC⊥平面SBD；
（Ⅱ）若∠DAB=120°，DS⊥BS，AB=2，求SO的长及点A到平面SBD的距离．

难度：较难

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8．已知线段PD垂直于正方形ABCD所在平面，D为垂足，|PD|=5cm，|AB|=8cm，连接PA、PB、PC．
（1）求证：平面PBC⊥平面PDC；
（2）求PB与平面ABCD所成角的正切值．

难度：较难

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9．如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，AE⊥平面CDE，AE=DE=2
6
，F为线段ED上的一点．
（Ⅰ）求证：平面AED⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若二面角A-CB-E的平面角是二面角A-CB-F的平面角大小的2倍，求EF的长．

难度：较难

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10．在三棱柱PBC-QAD中，侧面ABCD为矩形，PA⊥CD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PDC；
（2）若BC=
6
，PB=
2
，PC=2，当三棱锥P-BCD的体积最大时，求二面角A-BP-C的大小．

难度：较难

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