知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB=2，AA₁=2
2
，D是AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，且CO⊥ABB₁A₁平面．
（1）证明：BC⊥AB₁；
（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．

难度：中等

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2．（2015秋•安徽期末）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2，AD=
2
，PA=PD=CD=CB=1，E总是线段PB上的动点．
（Ⅰ）当E点在什么位置时，CE∥平面PAD？证明你的结论．
（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点E，求AE与底面ABCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角A-PD-C的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在四棱锥S-ABCD中，AB⊥AD，AB∥CD，CD=3AB=3，平面SAD⊥平面ABCD，E是线段AD上一点，AE=ED=
3
，SE⊥AD．
（1）写出一个平面，使它与平面SEC垂直；
（2）若SE=1，求三棱锥E-SBC的体积．

难度：中等

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4．如图1，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BAD=
π
2
，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图2）
（1）若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f（x），求f（x）的最大值．
（2）当f（x）取最大值时，是否有BD⊥EG，并说明理由．

难度：较难

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5．如图，四凌锥P-ABCD而底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形∠APD=90°，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：PA⊥PC；
（Ⅱ）在AD=2，AB=4，求三棱锥P-ABD的体积；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求四棱锥P-ABCD外接球的表面积．

难度：较难

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6． ABCD是矩形，AB=4，AD=3，沿AC将△ADC折起到△AD′C，使平面AD′C⊥平面△ABC，F是AD′的中点，E是AC上的一点，给出下列结论：
①存在点E，使得EF∥平面BCD′；
②存在点E，使得EF⊥平面ABD′；
③存在点E，使得D′E⊥平面ABC；
④存在点E，使得AC⊥平面BD′E．
其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）

难度：较难

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7．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，∠ABC=∠BAD=90°，AP=AD=AB=
2
，BC=t，∠PAB=∠PAD=α．
（Ⅰ）当t=3
2
时，试在棱PA上确定一个点E，使得PC∥平面BDE，并求出此时
AE
EP
的值；
（Ⅱ）当α=60°时，若平面PAB⊥平面PCD，求此时棱BC的长．

难度：中等

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8．如图，矩形CDEF所在的平面与矩形ABCD所在的平面垂直，AD=2
2
，DE=2，AB=4，点M，N分别为线段EF，AB上的动点，点P为MN的中点，则PA+PC的最小值为．

难度：较易

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9．如图，A、B、C、D为空间四点，△ABC中，AB=AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD= ．

难度：较易

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10．如图四面体P-ABC中，PA=PB=
13
，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°AC=8，BC=6，则PC=

难度：较易

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