在空中，取直线\(l\)为轴，直线\(l\)与\(l′\)相交于\(O\)点，夹角为\(30^{\circ}\)，\(l′\)围绕\(l\)旋转得到以\(O\)为顶点，\(l′\)为母线的圆锥面\(.\)已知直线\(l/\!/\)平面\(α\)，\(l\)与\(α\)的距离为\(2\)，平面\(α\)与圆锥面相交得到双曲线\(Γ.\)在平面\(α\)内，以双曲线\(Γ\)的中心为原点，以双曲线的两个焦点所在直线为\(y\)轴，建立直角坐标系．
\((\)Ⅰ\()\)求双曲线\(Γ\)的方程；
\((\)Ⅱ\()\)在平面\(α\)内，以双曲线\(Γ\)的中心为圆心，半径为\(2 \sqrt {2}\)的圆记为曲线\(Γ′\)，在\(Γ′\)上任取一点\(P\)，过点\(P\)作双曲线\(Γ\)的两条切线交曲线\(Γ′\)于两点\(M\)、\(N\)，试证明线段\(MN\)的长为定值，并求出这个定值．