知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．在极坐标系中，直线l：ρcosθ=
1
2
与曲线C：ρ=2cosθ相交于A、B两点，O为极点．
（1）求∠AOB的大小．
（2）设把曲线C向左平移一个单位再经过伸缩变换
x′=2x
y′=y
得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上任一点，求x²-
3
xy+2y²的最小值，并求相应点M的坐标．

难度：较难

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2．在同一坐标系中，将曲线4x²+9y²=36变为曲线x′²+y′²=1的伸缩变换是．

难度：中等

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3．已知切线C的极坐标方程是ρ=2，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线L的参数方程为
x=1-
1
2
t
y=2+
3
2
t
（t为参数）．
（1）写出直线L与曲线C的直角坐标系下的方程；
（2）设曲线C经过伸缩变换
x′=x
y′=2y
，得到曲线C′，判断L与切线C′交点的个数．

难度：较难

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4．设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸压变换．
（1）求矩阵M逆矩阵；
（2）求矩阵M的特征值及相应的特征向量．

难度：较难

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5．（1）曲线C的直角坐标方程为x²+y²-2x=0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．
（2）已知伸缩变换表达式为
x′=2x
y′=
1
3
y
，曲线C在此变换下变为椭圆
x′2
2
+y′²=1，求曲线C的方程．

难度：较易

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6．设A是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换所对应的变换矩阵；B是将点（2，0）变为点（
3
，1）的旋转变换所对应的变换矩阵；若M=AB；求矩阵M及M^-1．

难度：较难

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7．在同一平面直角坐标系中，将曲线x²-36y²一8x+12=0变成曲线x′²-y′^2-4x′+3=0．求满足条件的伸缩变换．

难度：较易

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8．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换曲线x²+y²-2y=0方程变为16x′²+y′²-4y′=0．

难度：较易

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9．若函数y=f（x）的图象在伸缩变换φ：
x′=2x
y′=3y
，作用下得到的曲线的方程为y′=3sin（x′+
π
6
），求函数y=f（x）的最小正周期．

难度：较易

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10．在同一平面直角坐标系中，将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4，求满足图象变换的伸缩变换．

难度：较易

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