知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如图，矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，变换T所对应的矩阵为M，矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的3倍所对应的变换矩阵．
（Ⅰ）求（MN）^-1；
（Ⅱ）判断矩阵MN是否存在特征值．

难度：较难

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2．若点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cos α -sin α
sin α cos α
对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵；
（Ⅱ）求曲线C：x²+y²=1在矩阵N=
0
1
2
1 0
所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
1 2
-2 -3
，B=
0 1
1 -2
．
（Ⅰ）求A^-1以及满足AX=B的矩阵X．
（Ⅱ）求曲线C：x²-4xy+y²=1在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

难度：较易

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4．已知圆C：x²+y²=4在矩阵A=
1 0
0 2
对应伸压变换下变为一个椭圆，则此椭圆方程为．

难度：较难

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5．已知直线l：ax-y=0在矩阵A=
0  1
1   2
对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a=    ．

难度：中等

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6．已知变换M=
1 0
0 b
，点A（2，-1）在变换M下变换为点A′（a，1），则a+b= ．

难度：中等

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7．已知二阶矩阵M对应的变换将点O，A，B，C分别变成点O，A′，B′，C′，其中O为坐标原点，A（2，0），B（2，1），C（0，1），A′（2，1），B′（2，2）．求矩阵M及点C′的坐标．

难度：较难

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8．选修4-2　矩阵与变换
已知矩阵M=
a 1
c 0
的一个特征根为-1，属于它的一个特征向量
1
-3
．
（1）求矩阵M；
（2）求曲线x²+y²=1经过矩阵M所对应的变换得到曲线C，求曲线C的方程．

难度：较难

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9．已知变换T₁是绕原点逆时针旋转
π
2
的旋转变换，对应的变换矩阵是M₁；变换T₂对应的变换矩阵是M₂=
1 1
0 1
．
（Ⅰ）求变换T₁对应的变换矩阵M₁；
（Ⅱ）求函数y=x²的图象依次在T₁，T₂变换的作用下所得曲线的方程．

难度：较难

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10．曲线C₁：x²+y²=1在矩阵M=（
a 0
o b
）（a＞0，b＞0）的变换作用下得到曲线C₂：
x2
4
+y²=1．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）求矩阵M的特征值及对应的一个特征向量．

难度：较难

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