知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M=
cosα -sinα
sinα cosα
对应的变换作用下得到点A（-b，a）．
（Ⅰ）求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（Ⅱ）求曲线C：（x-1）²+y²=1在矩阵M^-1所对应的变换作用下得到的曲线C′的方程．

难度：较难

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2．已知
a
=
1
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．

难度：较难

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3．设A=
2 1
5 3
，x=
x
y
，B=
4
11
，且AX=B．
（1）求A^-1；
（2）求X．

难度：较难

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4．已知行列式
.
2 i
2 z
.
=4+2i，则复数z= ．

难度：较易

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5．已知二阶矩阵A=
2 a
b 0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
，求矩阵A的逆矩阵．

难度：中等

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6．方程
.
3
cosx sinx
cosx cosx
.
=
3
2
，x∈（3，4）实数解x为．

难度：中等

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7．（1）选修4-2：矩阵与变换
已知向量
1
-1
在矩阵M=
1 m
0 1
变换下得到的向量是
0
-1
．
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求曲线y²-x+y=0在矩阵M^-1对应的线性变换作用下得到的曲线方程．
（2）选修4-4：极坐标与参数方程
在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点M的极坐标为(4
2
，
π
4
)，曲线C的参数方程为
x=1+
2
cosα
y=
2
sinα
（α为参数）．
（Ⅰ）求直线OM的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点M到曲线C上的点的距离的最小值．
（3）选修4-5：不等式选讲
设实数a，b满足2a+b=9．
（Ⅰ）若|9-b|+|a|＜3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b＞0，且z=a²b，求z的最大值．

难度：较难

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8．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'分别是矩形和平行四边形，其中点的坐标分别为A（-1，2），B（3，2），C（3，-2），D（-1，-2），A'（-1，0），B'（3，8），C'（3，4），D'（-1，-4）．求将四边形ABCD变成四边形A'B'C'D'的变换矩阵M．

难度：中等

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9．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分
（1）已知矩阵M=
1 2
2 1
，β=
1
7
，（Ⅰ）求M^-1；（Ⅱ）求矩阵M的特征值和对应的特征向量；（Ⅲ）计算M¹⁰⁰β．
（2）曲线C的极坐标方程是ρ=1+cosθ，点A的极坐标是（2，0），求曲线C在它所在的平面内绕点A旋转一周而形成的图形的周长．
（3）已知a＞0，求证：
a2+
1
a2
-
2
≥a+
1
a
-2．

难度：难

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10．对于下列四个命题
①若向量
a
，
b
，满足
a
•
b
＜0，则
a
与
b
的夹角为钝角；
②已知集合A=正四棱柱，B=长方体，则A∩B=B；
③在直角坐标平面内，点M（|a|，|a-3|）与N（cosα，sinα）在直线x+y-2=0的异侧；
④对2×2数表定义平方运算如下：
ab
cd
)2=
ab
cd
•
ab
cd
=
a2+bcab+bd
ac+cdbc+d2
，则
10
-11
)2=
10
-21

其中真命题是（将你认为的正确命题的序号都填上）．

难度：较难

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