知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
a b
c d
，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值-1的一个特征向量为α2=
1
-1
，则矩阵A= ．

难度：中等

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2．已知矩阵M=
1 2
2 1

（1）求M的逆矩阵M^-1；
（2）求直线l：x=1经M对应的变换T_M变换后的直线l′的方程；
（3）判断
α
=
-1
1
是否为M的特征向量．

难度：中等

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3．已知矩阵A对应的变换是先将某平面图形上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，再将所得图形绕原点按顺时针方向旋转90°．
（1）求矩阵A及A的逆矩阵B；
（2）已知矩阵M=
3 3
2 4
，求M的特征值和特征向量；
（3）若α=
1
8
在矩阵B的作用下变换为β，求M⁵⁰β（运算结果用指数式表示）．

难度：中等

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4．已知二阶矩阵A有特征值λ₁=3及其对应的一个特征向量
a1
=
1
1
，特征值λ₂=-1及其对应的一个特征向量
a2
=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：中等

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5．矩阵
1 1
4 1
的特征值为．

难度：中等

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6．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量
e1
=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量
e2
的坐标之间的关系；
（3）求直线l：2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

难度：中等

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7． B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知矩阵M
1 2
2 x
的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．

难度：中等

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8．选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵M=
x 5
6 6
不存在逆矩阵，求实数x的值及矩阵M的特征值．

难度：中等

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9．已知矩阵A=
3 3
c d
．若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
，矩阵A= ．

难度：中等

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10．已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应的一个特征向量e₁=
1
1
，并有特征值λ₂=2及对应的一个特征向量e₂=
1
-2
，则矩阵M= ．

难度：中等

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