知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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1．已知矩阵 $M%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%26%20a%20%5C%5C%20b%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b均为实数，若点A（3，-1）在矩阵M的变换作用下得到点B（3，5），求矩阵M的特征值．

难度：较易

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2．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Coverset%7B1%7D%7B1%7D%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M将点（-1，3）变换为（0，8）．求矩阵M．

难度：较易

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3．已知矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%201%20%5C%5C%20b%20%26%200%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，其中a，b∈R，若点P（1，1）在矩阵A的变换下得到点Q（3，3），向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%205%20%5C%5C%209%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求a，b的值及矩阵A的特征值、特征向量；
（2）计算A²⁰ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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4．已知二阶矩阵A= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%203%20%26%205%20%5C%5C%200%20%26%20-2%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ．
（1）求矩阵A的特征值和特征向量；
（2）设向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，求A²⁰¹⁶ $%20%5Coverrightarrow%20%7B%CE%B2%7D$ ．

难度：较易

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5．已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bpmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7Da%20%26%20b%20%5C%5C%20c%20%26%20d%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bpmatrix%7D$ ，若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为 $%CE%B1_%7B1%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，属于特征值-1的一个特征向量为 $%CE%B1_%7B2%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，则矩阵A= ______ ．

难度：较易

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6．已知直线l：ax+y=1在矩阵A=
1 2
0 1
对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．
（1）求实数a，b的值；
（2）求矩阵A的特征值与特征向量．

难度：较易

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7．已知矩阵M有特征值λ₁=8及对应特征向量α₁= $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，且矩阵M对应的变换将点（1，-1）变换成（4，0），求矩阵M的另一个特征值．

难度：较易

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8．已知二阶矩阵M有特征值λ=8及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B1%7D%7D$ = $%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20%5Cleft.%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%20%5C%5C%201%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（-2，4）．
（1）求矩阵M；
（2）求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7Be_%7B2%7D%7D$ 的坐标之间的关系；
（3）求直线l：2x-4y+1=0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．

难度：较易

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9．已知矩阵A=
3 3
c d
，若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1=
1
1
，属于特征值1的一个特征向量为α2=
3
-2
．
（1）求矩阵A；
（2）求出直线x+y-1=0在矩阵A对应的变换作用下所得曲线的方程．

难度：较易

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10．（1）已知矩阵M=
1 2
2 x
的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．
（2）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．OE交AD于点F．
①求证：DE是⊙O的切线；②若
AC
AB
=
3
5
，求
AF
DF
的值．
（3）在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=t
y=1+2t
（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

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