知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ）求矩阵A；
（Ⅱ）若矩阵B=
1 -1
0 1
，求直线x+y+1=0先在矩阵A，再在矩阵B的对应变换作用下的像的方程．

难度：较难

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2．已知矩阵A的逆矩阵A^-1=
-
1
4
3
4
1
2
-
1
2
，求矩阵A的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量．

难度：较难

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3．已知矩阵A=
a 2
1 b
有一个属于特征值1的特征向量
α
=
2
-1

①求矩阵A；
②已知矩阵B=
1 -1
0 1
，点O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O′M′N′的面积．

难度：较难

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4．已知
k
0
是矩阵A=
1   0
m  2
的一个特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量
k
0
相应的特征值；
（Ⅱ）若矩阵B=
3  2
2  1
，求矩阵B^-1A．

难度：较难

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5．已知矩阵M=
2 a
2 b
的两个特征值分别为λ₁=-1和λ₂=4，
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若直线l在矩阵M所对应的线性变换作用下的象的方程为x-2y-3=0，求直线l的方程．

难度：较难

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6．已知二阶矩阵M=
a 1
3 d
有特征值λ=-1及对应的一个特征向量
e1
=
1
-3
．
（Ⅰ）求矩阵M；
（Ⅱ）设曲线C在矩阵M的作用下得到的方程为x²+2y²=1，求曲线C的方程．

难度：较难

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7．已知a=
2
1
为矩阵A=
1 a
-1 4
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值；
（Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵A^-1．

难度：较难

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8．已知阶矩阵A=
1 2
2 1
，向量β=
2
2

（1）求阶矩阵A的特征值和特征向量；
（2）计算A²β

难度：较难

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9． (1)已知矩阵 $A%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%20a%20%26%202%20%5C%5C%201%20%26%20b%5Cend%7Bbmatrix%7D$ 有一个属于特征值1的特征向量 $%20%5Coverrightarrow%20%7B%5Calpha%20%7D%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%202%20%5C%5C%20-1%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，
①求矩阵A；
②已知矩阵 $B%3D%20%5Cbegin%7Bbmatrix%7D%201%20%26%20-1%20%5C%5C%200%20%26%201%5Cend%7Bbmatrix%7D$ ，点O(0，0)，M(2，-1)，N(0，2)，求△OMN在矩阵AB的对应变换作用下所得到的△O'M'N'的面积．
(2)已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 $%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%20x%3Dt-3%20%5C%5C%20y%3D%20%5Csqrt%20%7B3%7Dt%5Cend%7Bcases%7D$ (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C的极坐标方程为ρ²-4ρco sθ+3=0．
①求直线l普通方程和曲线C的直角坐标方程；
②设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的取值范围．
(3)已知函数f(x)=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f(x)≥3的解集；
②若关于x的不等式f(x)≥a²-a在R上恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．对于元素为整数的有限集合A={z₁，z₂，z₃，…，z_n}，规定MA=(-1)z1×z1+(-1)z2 ×z2+(-1)z3×z3+…+(-1)zn×zn为集合A的特征值．例如：B={-1，2，3}，则集合B的特征值M_B=（-1）^-1×（-1）+（-1）²×2+（-1）³×3=0．如果集合A={-1，0，1，2，3，4}，那么集合A所有非空子集的特征值的和等于．

难度：较难

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