知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极点O与原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．点A，B的极坐标分别为（2，π），(2
2
，
π
4
)，曲线C的参数方程为
x=sinα
y=1+cos2α
(α为参数)．
（Ⅰ）求△AOB的面积；
（Ⅱ）求直线AB与曲线C的交点．

难度：较难

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2．已知抛物线的参数方程为
x=4t2
y=4t
，（t为参数），焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的倾斜角为150°，则|PF|= ．

难度：中等

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3．参数方程
x=2cosα
y=2-cos2α
（α是参数）表示的曲线的普通方程是．

难度：较难

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4．（1）（不等式选讲选做题）若关于x的不等式|x-1|+|x+m|＞3的解集为R，则实数m的取值范围是．
（2）（坐标系与参数方程选做题）已知抛物线C₁的参数方程为
x=8t2
y=8t
（t为参数），圆C₂的极坐标方程为ρ=r（r＞0），若斜率为1的直线经过抛物线C₁的焦点，且与圆C₂相切，则r= ．

难度：较难

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5．选作题，本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．（几何证明选讲）
如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD=2，DE⊥AB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长．
B．（矩阵与变换）
已知矩阵
1 2
2 a
的属于特征值b的一个特征向量为
1
1
，求实数a、b的值．
C．（极坐标与参数方程）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，-2）在曲线
x=2pt2
y=2pt
（t为参数，p为正常数），求p的值．
D．（不等式选讲）
设a₁，a₂，a₃均为正数，且a₁+a₂+a₃=1，求证：
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9．

难度：中等

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6．设函数f（x）=x²-（a+3）x+3a （a∈R ），若对任意的实数a，函数y=f（x）的图象都不经过点（2p，p²），则实数p的值为．

难度：中等

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7．（2011•金台区校级模拟）选做题（请考生在以下三个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）
（1）已知曲线C的参数方程为
x=1+2t
y=at2
（t为参数，a∈R），点M（5，4）在曲线C 上，则曲线C的普通方程为    ．
（2）已知不等式x+|x-2c|＞1的解集为R，则正实数c的取值范围是    ．
（3）如图，PC切圆O于点C，割线PAB经过圆心A，PC=4，PB=8，则S_△OBC    ．

难度：较难

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8．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线
y=sinθ
x=
1
2
-
1
2
cos2θ
(θ为参数)与直线x=a有两个不同的公共点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，并且两种坐标系的长度单位相同．已知直线的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+2=0，则它与曲线
x=sinα+cosα
y=1+sin2α
（α为参数）的交点的直角坐标是．

难度：中等

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10．（《坐标系与参数方程》选做题）已知点（3，-2）到抛物线
x=2pt
y=2pt2
（t为参数，常数p＞0）的焦点的距离为5，则p的值为．

难度：较难

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