知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设函数f（x）=|2x-a|．
（1）当a=3时，解不等式，f（x）＜|x-2|．
（2）若f（x）≤1的解集为[0，1]，
1
m
+
1
2n
=a（m＞0，n＞0），求证：m+2n≥4．

难度：较难

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2．已知函数f（x）=e^x-ax-1（a＞0，e为自然数的底数）．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，证明：1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞ln（n+1）（n∈N^*）．

难度：较难

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3．若-1＜x＜1，-1＜y＜1，求证：(
x-y
1-xy
)2＜1．

难度：中等

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4．已知a₁，a₂，b₁，b₂∈R₊，求证：
(a1+b1)(a2+b2)
≥
a1a2
+
b1b2
．

难度：较易

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5．已知函数g（x）=xlnx，设0＜a＜b，证明：0＜g（a）+g（b）-2g（
a+b
2
）＜（b-a）ln2．

难度：中等

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6．已知a≥1，x≥0，证明：不等式e^x-x-1≤
ax2ex
2
．

难度：中等

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7．若a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=2，求证：
a+1
+
b+1
+
c+1
＜4．

难度：中等

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8．求证：2a⁴-a²≥2a³-1．

难度：中等

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9．数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n²-2n+1，
（1）证明：a_n＞2n-1（n≥3）；
（2）证明：
1+
3+
5+…+
2n-1+
2n+1
＜2．

难度：中等

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10．已知lgx+lgy+lgz=0，求证：
1
x2(y+z)
+
1
y2(x+z)
+
1
z2(x+y)
≥
3
2
．

难度：中等

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