知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=a^x+b（a＞0，a≠1）满足f（x+y）=f（x）•f（y），且f（3）=8．
（1）求实数a，b的值；
（2）若不等式|x-1|＜m的解集为（b，a），求实数m的值．

难度：中等

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2．已知函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1
（1）判断并证明f（x）的单调性；
（2）若f（4）=3，解不等式f（3m²-m-2）＜2．

难度：中等

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3．设函数y=f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，并且满足下面三个条件：
①对任意正数x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；
②当x＞1时，f（x）＞0；
③f（3）=1，
（1）求f（1），f(
1
3
)的值；
（2）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上单调性，并用定义给出证明；
（3）对于定义域内的任意实数x，f（kx）+f（4-x）＜2（k为常数，且k＞0）恒成立，求正实数k的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且f(1)=-
1
2
．
（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；
（Ⅱ）当-8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）设函数g（x）=f（x²-m）-2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．

难度：较难

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5．给出定义，若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则称函数y=g（x）的图象关于点（a，b）成和谐对称，已知函数f（x）=
2x+1-a
a-x
（x≠1），定义域为A．
（Ⅰ）判断y=f（x）的图象是否关于点（a，-2）成和谐对称；
（Ⅱ）当a=1时，求f（sinx）的值域；
（Ⅲ）对于任意的x_i∈A，设计构造过程：x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n+1=f（x_n），如果x_i∈A（i=2，3，4，…）构造过程将继续下去，如果x_i∉A，构造过程将停止，若对任意x_i∈A，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

难度：较难

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6．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x²）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

难度：较难

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7．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（
x1
x2
）=f（x₁）-f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）若当x＞1时，有f（x）＜0．求证：f（x）为单调递减函数；
（3）在（2）的条件下，若f（5）=-1，求f（x）在[3，25]上的最小值．

难度：较难

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8．已知偶函数y=f（x）的定义域为R，且对任意实数x，恒有f（
1
2
+x）=f（
1
2
-x），当x∈[0，
1
2
]，f（x）=（x-
1
2
）²．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）当x∈R时，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（sinx）＜f（cosx）．

难度：中等

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9．已知定义域为R的函数f（x）满足：①x∈（0，1]时，f（x）=2^x-1；②对任意x∈R均有f（x+1）=2f（x）．定义[x]是不超过x的最大整数，如[-0.1]=-1，[1.2]=1，g（x）=
[x]
x
．
（1）求f（2）的值；
（2）求函数f（x）在（1，2]上的解析式；
（3）设不等式f（x）≤8在区间（-∞，a]上恒成立时a的最大值为M，且函数h（x）=g（x）-t（x∈（0，M]）仅有三个零点，求实数t的取值范围．

难度：中等

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10．已知奇函数f（x）在区间（-∞，0）上是增函数，且f（-2）=-1，f（1）=0，当x₁＞0，x₂＞0有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂），求不等式log₂|f（x）+1|＜0的解集．

难度：中等

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