知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．如果函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，且f（x）为增函数，f（x•y）=f（x）+f（y）．
（I）求f（1）的值；
（II）求证：f(
x
y
)=f(x)-f(y)；
（Ⅲ）已知f（3）=1，且f（a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．

难度：中等

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2．若在定义域内存在实数x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立，则称函数有“飘移点”x₀．
（1）函数f（x）=
1
x
是否有“飘移点”？请说明理由；
（2）证明函数f（x）=x²+2^x在（0，1）上有“飘移点”；
（3）若函数f（x）=lg（
a
x2+1
）在（0，+∞）上有“飘移点”，求实数a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明g(x)=(
1
4
)x是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=
S2n
S2n-1
，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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4．设函数f（x）的定义域为R^*，且满足条件f（4）=1，对于任意x1，x2∈R*，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且函数f（x）在R^*上为增函数．
（1）求f（1）的值；
（2）如果f（3x+1）+f（2x-6）≤3，求x的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）对任意的x，y∈R，总有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性并证明；
（2）若x＜0时恒有f（x）＞0，判断函数f（x）的单调性并证明．

难度：中等

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6．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[-1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x²-
1
3
x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知f（x）=x+
a
x
，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；
（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．

难度：较难

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7．已知f（x）是定义在R上的增函数，对任意x、y∈R，记命题P：“若x+y＞0，则 f（x）+f（y）＞f（-x）+f（-y）”
（Ⅰ）证明：命题P是真命题；
（Ⅱ）写出命题P的逆命题Q，并用反证法证明Q也是真命题．

难度：中等

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8．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中常数k＜0，且f（x）在区间[0，2]的表达式为f（x）=x（x-2）．
（1）求f（-1），f（2.5）的值（用k表示）；
（2）写出f（x）在区间[-3，2]上的表达式，并讨论f（x）在[-3，2]上的单调性（不要求证明）；
（3）求出f（x）在区间[-3，2]上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

难度：较难

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9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x-2）．
（Ⅰ）在给定坐标系下画出函数f（x）的图象，并根据图象写出f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的解析式．

难度：中等

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10．已知函数g（x）对一切实数x，y都有g（x+y）-g（y）-x（x+2y+1）成立，是g（x）=0，且f（x）=
g(x)-3x+3
x
．
（1）求g（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）已知k∈R，设P：不等式f（2^x）-k•2^x≥0在x∈[-1，1]上有解，Q：f（|2^x-1|）+k•
2
|2x-1|
-3k=0有三个不同的实数解，如果满足P成立的k的集合记为A，满足Q成立的k的集合记为B，求A∩B．

难度：中等

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