知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知
a
=(2cos2x，1)，
b
=（1，2
3
sinxcosx+m）（x∈R，m∈R，m是常数）且y=
a
•
b
．
（1）求y关于x的函数关系式y=f（x）；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为4，求m的值；
（3）求f（x）的最小正周期及单调减区间．

难度：中等

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2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是周期函数；
（3）若f（x）=x（0＜x≤1），求x∈[-1，1]时，函数f（x）的解析式．

难度：较难

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3．已知函数y=f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数m，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＞m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类增周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）=m•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的m级类周期函数，周期为T．
（1）试判断函数f(x)=log
1
2
(x-1)是否为（3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数？并说明理由；
（2）已知函数f（x）=-x²+ax是[3，+∞）上的周期为1的2级类增周期函数，求实数a的取值范围；
（3）下面两个问题可以任选一个问题作答，问题（Ⅰ）6分，问题（Ⅱ）8分，如果你选做了两个，我们将按照问题（Ⅰ）给你记分．
（Ⅰ）已知T=1，y=f（x）是[0，+∞）上m级类周期函数，且y=f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）=2^x，求实数m的取值范围．
（Ⅱ）已知当x∈[0，4]时，函数f（x）=x²-4x，若f（x）是[0，+∞）上周期为4的m级类周期函数，且y=f（x）的值域为一个闭区间，求实数m的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=lg（x+1）．
（1）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[-1，1]）的解析式．

难度：较易

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5． f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x十2）=-f（x），当0≤x≤1时．f（x）=x²+x．
（1）求函数f（x）的周期；
（2）求函数f（x）在-1≤x≤0时的表达式；
（3）求f（6.5）．

难度：中等

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6．已知函数y=f（x）是定义在R上且周期为4的奇函数，若-2＜x≤-1时，f（x）=2cos
π
2
x+1，求当2≤x≤3时，函数y=f（x）的解析式．

难度：中等

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7．若函数f（x）满足：对于定义域内任一个x值，总存在-个常数T≠0，使得f（x+T）=f（x）都成立，则称f（x）是周期函数，其中常数T是f（x）的周期．若奇函数 f（x）是以3为周期的周期函数，已知f（1）=3．求f（47）的值．

难度：中等

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8．已知g（x）=x（2-x）（0＜x＜1），g（1）=0，若函数y=f（x）（x∈R）是以2为周期的奇函数，且在[0，1]上f（x）=g（x），画出y=f（x）（-2≤x≤2）的图象并求其表达式．

难度：中等

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9．已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f（x+1）=f（x-1）成立，已知当x∈[1，2]时，f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）．
（1）求x∈[-1，1]时，函数f（x）的表达式；
（2）求x∈[2k-1，2k+1]（k∈Z）时，函数f（x）的解析式．

难度：中等

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10．设f（x）是定义在R上以2为最小正周期的周期函数．当-1≤x＜1时，y=f（x）的表达式是幂函数，且经过点(
1
2
，
1
8
)，求函数在[2k-1，2k+1）（k∈Z）上的表达式．

难度：中等

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