知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知函数f（x）（x∈D），若存在常数T（T＞0），对任意x∈D都有f（x+T）=T•f（x），则称函数f（x）为T倍周期函数
（1）判断h（x）=x是否是T倍周期函数，并说明理由．
（2）证明g(x)=(
1
4
)x是T倍周期函数，且T的值是唯一的．
（3）若f（n）（n∈N^*）是2倍周期函数，f（1）=1，f（2）=-4，S_n表示f（n）的前n 项和，C_n=
S2n
S2n-1
，若C_n＜log_a（a+1）+10恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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2．定义：对于函数f（x），若存在非零常数M，T，使函数f（x）对于定义域内的任意实数x，都有f（x+T）-f（x）=M，则称函数f（x）是广义周期函数，称T为函数f（x）的广义周期，称M为周距
（1）证明函数f（x）=x²不是广义周期函数；
（2）试判断函数f（x）=kx+b+Asin（ωx+φ）（k、A、ω、φ为常数，k≠0，A＞0，ω＞0）是否为广义周期函数，若是，请求出它的一个广义周期T和周距M，若不是，请说明理由．

难度：中等

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3．定义域为[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（x）=f（x-2），且当x∈（0，1）时，f（x）=
ax
a2x+1
（a＞1）．
（1）求f（1）的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）求函数f（x）的值域．

难度：较难

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4．已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x+2），其中k为常数．
（1）若k=-1，函数f（x）是否具有周期性？若是，求出其周期；
（2）在（1）的条件下，又知f（x）为定义在R上的奇函数，且当0≤x≤1时，f（x）=
1
2
x，则方程f（x）=-
1
2
在区间[0，2016]上有多少个解？（写出结论，不需过程）
（3）若k为负常数，且当0≤x≤2时，f（x）=x（x-2），求f（x）在[-3，3]上的解析式，并求f（x）的最小值与最大值．

难度：较难

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5．已知x为实数，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.2]=1，[-1.2]=2，[1]=1．对于函数f（x），若存在m∈R且m≠Z，使得f（m）=f（[m]），则称函数f（x）是Ω函数．
（Ⅰ）判断函数f（x）=x²-
1
3
x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）
（Ⅱ）已知f（x）=x+
a
x
，请写出a的一个值，使得f（x）为Ω函数，并给出证明；
（Ⅲ）设函数f（x）是定义在R上的周期函数，其最小周期为T．若f（x）不是Ω函数，求T的最小值．

难度：较难

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6．设f是一个从实数集R映射到自身的函数，并且对任何x∈R均有|f（x）|≤1，以及f（x+
13
42
）+f（x）=f（x+
1
6
）+f（x+
1
7
）．
证明：函数f（x）是周期函数（即存在一个非零实数c，使得对任何x∈R，f（x+c）=f（x）成立）．

难度：较难

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7．已知函数f（x）的定义域为实数集R，
（1）若函数f（x）=2^xsin（πx），证明f（x+2）=4f（x）；
（2）若f（x+T）=kf（x）（k＞0，T＞0），若f（x）=a^xφ（x）（其中a为正的常数），试证明函数φ（x）是以T为周期的周期函数；
（3）若f（x+6）=
2
f（x），且当x∈[-3，3]时，f（x）=
1
10
x（x²-9），记S_n=f（2）+f（6）+f（10）+…+f（4n-2）n∈N^*，求使得S₁、S₂、S₃…S_n小于1000都成立的最大整数n．

难度：较难

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8．设f（x）是定义在R上的奇函数且对任意实数x，恒有f（x+2）=-
1
f(x)
，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）的周期函数；
（2）x∈[2，4]，求f（x）的解析式．

难度：中等

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9．已知偶函数y=f（x）的定义域为R，且对任意实数x，恒有f（
1
2
+x）=f（
1
2
-x），当x∈[0，
1
2
]，f（x）=（x-
1
2
）²．
（1）求证：f（x）为周期函数；
（2）当x∈R时，求f（x）的解析式；
（3）解不等式f（sinx）＜f（cosx）．

难度：中等

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10．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（-x）=f（2+x）．
（I）求f（0）的值；
（II）证明函数f（x）是周期函数．

难度：较易

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