知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f(x)=
x2-4x+3，  x≤0
-x2-2x+3，  x＞0
，当x∈[a，a+1]时不等式f（x+a）≥f（2a-x）恒成立，则实数a的最大值是    ．

难度：较难

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2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=
1
2
（|x-a|+|x-2a|-3|a|）．若集合{x|f（x-1）-f（x）＞0，x∈R}=∅，则实数a的取值范围为．

难度：较难

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3．设函数f（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）若2a+b=4，证明：|f（x）|在区间[0，4]上的最大值M（a）≥12；
（Ⅱ）存在实数a，使得当x∈[0，b]时，1≤f（x）≤10恒成立，求实数b的最大值．

难度：较难

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4．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=
n-g(x)
m+2g(x)
是奇函数．
（Ⅰ）确定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若h（x）=f（x）+a在（-1，1）上有零点，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意的t∈（1，4），不等式f（2t-3）+f（t-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．

难度：较难

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5．设m为实数，函数f（x）=2x²+（x-m）|x-m|，h（x）=
f(x)
x
，x≠0
0，x=0

（1）若f（1）≥4，求m的取值范围；
（2）若m＞0，对一切x∈[1，2]，不等式h（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数f（x）=xlnx-k（x-1），k∈R．
（1）当k=1时，求函数f（x）的单调区间．
（2）若函数y=f（x）在区间（1，+∞）上有1个零点，求实数k的取值范围．
（3）是否存在正整数k，使得f（x）+x＞0在x∈（1，+∞）上恒成立？若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

难度：中等

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7．已知g（x）=x²-2x-3，f（x）=ax+2．（a＞0）．
（1）若对于x∈[3，6]时，总存在x₀，使得f（x₀）=g（x₀），求a的取值范围；
（2）若g（x-b）=0在（-1，6）上恒有一个实数根．求b的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数y=f（x）的定义域为[0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），存在正实数L，使得|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|均成立．
（1）若f（x）=
1+x
，x∈[0，+∞），求实数L的取值范围；
（2）当0＜L＜1时，正项数列{an}满足a_n+1=f（a_n），（n=1，2，…）
①求证：
n
k=1
|a_k-a_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|；
②如果令A_k=
a1+a2+…+an
k
（k=1，2，3，…），
求证：
n
k=1
|A_k-A_k+1|≤
1
1-L
•|a₁-a₂|．

难度：中等

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9．已知函数f（x）的图象是由函数h（x）=x²的图象向上平移1个单位长度得到的．（1）求f（x）的解析式：（2）设g（x）=f（x）-mx²，且在（0，2）上g′（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

难度：中等

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10．二次函数f（x）=ax²+bx+c，f（x）=0的两根是1和3，且f（f（x））=0有唯一实根．
①求f（x）的解析式；
②求|f（x）|在区间[t，t+1]上的最大值；
③设②中的最大值为M（t），若k≤M（t）对任意实数t恒成立，求k的取值范围．

难度：中等

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