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          共50条信息

            • 1． 设函数f(x)=
              1
              3
              ax3+
              1
              2
              bx2+cx(a，b，c∈R，a≠0)              的图象在点（x，f（x））处的切线的斜率为k（x），且函数g(x)=k(x)-
              1
              2
              x              为偶函数．若函数k（x）满足下列条件：①k（-1）=0；②对一切实数x，不等式k(x)≤
              1
              2
              x2+
              1
              2
              恒成立．
              （Ⅰ）求函数k（x）的表达式；
              （Ⅱ）求证：
              1
              k(1)
              +
              1
              k(2)
              +…+
              1
              k(n)
              ＞
              2n
              n+2
              （n∈N*）．
              难度：较难
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            • 2． 已知函数f（x）=
              c
              ax+b
              (a，b∈R)              满足f（x）的图象与直线x+y-1=0相切于点（0，1）．
              （1）求f（x）的解析式；
              （2）对任意n∈N，定义f0（x）=x，fn+1（x）=f（f（xn）），Fn（x）=f0（x）+f1（x）+f2（x）+…+fn（x）．证明：对任意x＞y＞0，均有Fn（x）＞Fn（y）．
              难度：较难
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            • 3． 已知函数f（x）=alnx+
              1
              2
              bx2-（b+a）x．
              （Ⅰ）当a=1，b=0时，求f（x）的最大值；
              （Ⅱ）当b=1时，设α，β是f（x）两个极值点，且α＜β，β∈（1，e]（其中e为自然对数的底数）．求证：对任意的x1，x2∈[α，β]，|f（x1）-f（x2）|＜1．
              难度：中等
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            • 4． 设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）-x=0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足
              0＜f′（x）＜1”
              （I）证明：函数f（x）=
              3x
              4
              +
              x3
              3
              （0≤x＜
              1
              2
              ）是集合M中的元素；
              （II）证明：函数f（x）=
              3x
              4
              +
              x3
              3
              （0≤x＜
              1
              2
              ）具有下面的性质：对于任意[m，n]⊆[0，
              1
              2
              ），都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．
              （III）若集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在xo∈（m，n），使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f′（xo）成立．试用这一性质证明：对集合M中的任一元素f（x），方程f（x）-x=0只有一个实数根．
              难度：较难
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