知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f（x）=
x2-1
lnx
．
（1）求证：f（x）在（0，1）和（1，+∞）上都是增函数；
（2）若在函数f（x）的定义域内，不等式af（x）＞x恒成立，求a的取值范围．

难度：较难

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2．设函数f（x）=x²-ax，g（x）=|x-a|，其中a为实数．
（I）若f（x）+g（x）是偶函数，求实数a的值；
（Ⅱ）设t∈R，若∃a∈[0，3]，对∀x∈[0，3]，都有f（x）+l≥tg（x）成立，求实数t的最大值．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=|2x+1|+|2x-1|
（1）求不等式f（x）≤4的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）＞log₂（a²-3a）恒成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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5．函数f（x）=lnx，g（x）是f（x）的反函数．
（I）求证：当x≥0时，f（x+1）≥-
1
2
x²+x；
（Ⅱ）若g（x）+g（-x）≤2g（mx²）对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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6．已知函数g(x)=
4x-a
2x
是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+bx是偶函数．
（1）求a+b的值．
（2）若对任意的t∈[0，+∞），不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求实数k的取值范围．
（3）设h(x)=f(x)+
1
2
x，若存在x∈（-∞，1]，使不等式g（x）＞h[lg（10a+9）]成立，求实数a的取值范围．

难度：中等

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7．已知函数f(x)=
kx-1
x+1

（Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值．

难度：较难

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8．已知a，b是不全为零的实数，函数f（x）=3ax²+2bx-（a+b）（a，b均为实数）
（Ⅰ）若a=1，且对一切b∈（1，2）恒有f（x）＞3x²+b²，求x的取值范围；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（0，1）内一定有零点．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=a-
2
2x+1
是奇函数（a∈R）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m+2）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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10．已知f（x）=x²+2（a-2）x+4．
（1）如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）是否存在实数a，使得对任意x∈[-3，1]，f（x）＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

难度：中等

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