知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a．
（Ⅰ）当a=0时，解不等式f（x）≥g（x）；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）≥g（x）成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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2．不等式a²+8b²≥λb（a+b）对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为．

难度：较难

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3．命题p：不等式x²-2ax+4＞0对于一切x∈R恒成立，命题q：直线y+（a-1）x+2a-1=0经过一、三象限，已知p∨q真，p∧q假，求a的取值范围．

难度：较易

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4．已知命题p：不等式a²-5a-3≥3恒成立，命题q：不等式x²+ax+2＜0有解；若p为真命题，q为假命题，求a的取值范围．

难度：较易

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5．对于区间[m，n]，定义n-m为区间[m，n]的长度，若函数f（x）=ax²-2x+1（a＞0）在任意长度为2的闭区间上总存在两点x₁，x₂，使|f（x₁）-f（x₂）|≥1成立，则实数a的最小值为．

难度：较难

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6．已知二次函数f（x）=x²+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜8}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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7． M是具有以下性质的函数f（x）的全体：对于任意s，t＞0，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t）．
（Ⅰ）试判断函数f₁（x）=log₂（x+1），f2(x)=2x-1是否属于M？
（Ⅱ）证明：对于任意的x＞0，x+m＞0（m∈R且m≠0）都有m[f（x+m）-f（x）]＞0；
（Ⅲ）证明：对于任意给定的正数s＞1，存在正数t，当0＜x≤t时，f（x）＜s．

难度：较难

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8．（在下列两题中任选一题，若两题都做，按第①题给分）．
①极坐标系中，极点到直线ρcosθ+ρsinθ=2的距离等于．
②不等式|x+3|-|x-1|≤a²-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=-
1
3
x³+x²+b，g（x）=
x+a
x2+1
，其中x∈R
（I）当b=
2
3
时，若函数F(x)=
f(x)(x≤2)
g(x)(x＞2)
为R上的连续函数，求F（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，若对任意x₁，x₂∈[1，2]，不等式g（x₁）＜f（x₂）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：中等

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10．定义运算
.
a b
c d
.
=ad-bc，如果：f(x)=
.
sinx -1
cosx 1
.
，并且f（x）＜m对任意实数x恒成立，则实数m的范围是．

难度：中等

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