知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=xlnx，g(x)=
ax2
2
．
（1）求函数f（x）在x=e处的切线方程；
（2）若至少存在一个x₀∈[1，e]使f（x₀）＜g（x₀）成立，求实数a的取值范围；
（3）设k∈Z且f（x）＞（k-3）x-k+2在x＞1时恒成立，求整数k的最大值．

难度：较难

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2．已知函数f（x）∈{sinx，|log₂x|，log₂|x|，x
1
2
}，且f（x）为偶函数．
（Ⅰ）写出满足条件的函数f（x）的解析式（不用说明理由）；
（Ⅱ）设函数g（x）=m•2^f（x）+x²（m∈R）；
①若函数g（x）在区间（-∞，-2）上是减函数，求实数m的取值范围；
②当m＞
1
4
时，判断g（x）＞
x
4
+
1
x
在x∈[1，2]上是否恒成立，并说明理由．

难度：中等

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3．设常数θ∈（0，
π
2
），函数f（x）=2cos²（θ-
3
2
x）-1，且对任意实数x，f（x）=f（
π
3
-x）恒成立．
（1）求θ值；
（2）试把f（x）表示成关于sinx的关系式；
（3）若x∈（0，π）时，不等式f（x）＞2a•f（
2x
3
）-13f（
x
3
）恒成立，求实数a的范围．

难度：中等

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4．已知函数f(x)=ax+
1-t
a2
(a＞0，a≠1)是定义域为R上的奇函数．
（1）求实数t的值；
（2）若f（1）＞0，不等式f（x²+bx）+f（4-x）＞0在x∈R上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若f(1)=
3
2
且h(x)=a2x+
1
a2x
-2mf(x)[1，+∞）上最小值为-2，求m的值．

难度：中等

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5．已知二次函数f（x）=x²+mx+n．
（1）若f（x）是偶函数且最小值为1，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的前提下，函数g(x)=
6x
f(x)
，解关于x的不等式g（2^x）＞2^x；
（3）函数h（x）=|f（x）|，若x∈[-1，1]时h（x）的最大值为M，且M≥k对任意实数m，n恒成立，求k的最大值．

难度：中等

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