知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数f（x）=
1
4x+m
（m＞0），x₁，x₂∈R，当x₁+x₂=1时，f（x₁）+f（x₂）=
1
2
．
（1）求m的值；
（2）解不等式f（log₂（x-1）-1）＞f（log
1
2
（x-1）-
3
2
）．

难度：中等

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2．已知：函数f（x）=log₂
x-1
x+1
，g（x）=2ax+1-a，又h（x）=f（x）+g（x）．
（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

难度：中等

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3．已知f（x）=log_ax（a＞0，a≠1），且f^-1（-1）=2，则f^-1（x）= ．

难度：较易

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4．已知函数f（x）=log_a
x-2
x+2
；
（1）判断函数奇偶性，并说明理由；
（2）求函数f（x）的反函数f^-1（x）；
（3）若函数的定义域为[α，β]，值域为[log_aa（β-1），log_aa（α-1）]，并且f（x）在[α，β]上为减函数．求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数：f（x）=lg[sin（2x+
π
3
）-
1
2
]
（1）求函数定义域
（2）求函数的值域
（3）若y=f（x+φ）是偶函数，求φ的集合．

难度：较难

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6．设函数f（x）=log_m（1+mx）-log_m（1-mx）（m＞0，且m≠1）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）当m=2时，解方程f（6^x）=1；
（3）如果f（u）=u-1，那么，函数g（x）=x²-ux的图象是否总在函数h（x）=ux-1的图象的上方？请说明理由．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
（1）若函数g（x）=
f(x)-x
x
是奇函数，求函数h（x）=lg
b+1-2x
b+2x
的值域；
（2）若a=2且当x∈[-1，1]时，f（x）的最大值与最小值之差总不大于6，试求b的取值范围．

难度：中等

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8．已知函数g（x）=（a+1）^x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log
3
（x+a）的图象．（1）求实数a的值；
（2）解不等式f（x）＜log
3
a．

难度：较难

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9．对于函数y=f（x），如果存在正实数n，使f（x）在[-n，n]上的值域为[0，n]，则称f（x）为“n矩函数“．例如y=x²是“1矩函数”，y=
1
2
x+
3
4
是“
3
2
矩函数”．
（1）指出下列函数是否为“n矩函数”，若是，请写出正实数n的值组合的集合；
①y=
1
x
；②y=-
1
2
x+1；③y=|x|．
（2）设指数函数f（x）的图象经过点（1，
4
3
），且g（x）=f（|x-c|）-1是“3矩函数”，求实数c的值．
（3）如果对于（2）中函数f（x）的反函数f^-1（x），当n∈N^*，函数h_n（x）=f^-1（
an+x
bn-x
）（其中a_n＞0且b_n＞0）是“n矩函数”，①请根据n=1时，h_n（x）是“1矩函数”，求a₁和b₁的值并写出h₁（x）的解析式．

难度：中等

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10．政府为了解决老百姓买药贵的问题，决定下调某药品的单价，并固定每年降价的百分率为30%，那么经过多少年，该药从每盒800元降至200元？（lg2=0.3010，lg7=0.8451）

难度：较易

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