知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f(x)=loga(1-
2
x+1
)（a＞0，a≠1）
（1）写出函数f（x）的值域、单调区间（不必证明）
（2）是否存在实数a使得f（x）的定义域为[m，n]，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在说明理由．

难度：较难

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2．已知函数f(x)=(log2
x
2
)•(log0.5
4
x
)，(x∈[
2
，16])，求：
（1）求log₂x的取值范围；
（2）求f（x）的值域．

难度：中等

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3．已知f（x）=log₂
1+x
1-x

（1）判断f（x）奇偶性并证明；
（2）判断f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）若f(
1
x-3
)+f(-
1
3
)＜0，求实数x的取值范围．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=log₂（4^x+1）+kx是偶函数．
（1）求实数k的值；
（2）设g(x)=log2(a•2x-
4
3
a)(a∈R)，若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．

难度：较难

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5．设函数f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且
1
9
≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=log₃x，求实数t的取值范围；
（3）将y=f（x）表示成以t（t=log₃x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最大值与最小值及与之对应的x的值．

难度：中等

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6．已知函数φ（x）=
a
x+1
，a为常数．
（1）若f（x）=lnx+φ（x），且a=
9
2
，求函数f（x）的单调区间；
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，当x₁≠x₂时，都有
g(x2)-g(x1)
x 2-x 1
＜-1，求a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）的定义域为D，若它的值域是D的子集，则称f（x）在D上封闭．
（Ⅰ）试判断f（x）=2^x，g（x）=log₂x是否在（1，+∞）上封闭；
（Ⅱ）设f₁（x）=f（x），f_n（x）=f（f_n-1（x））（n∈N^*，n≥2），求证：f_n（x）在D上封闭的充分条件是f₁（x）在D上封闭；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中f_n（x）（n∈N^*）的定义域均为D，那么f₁（x）在D上封闭是f_n（x）在D上封闭的必要条件吗？证明你的结论．

难度：较难

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8．设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（a≥0）．
（1）如果a=1，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在区间（-1，e-1）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）证明：当m＞n＞0时，（1+m）ⁿ＜（1+n）^m．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=3^x+k （k为常数），A（-2k，2）是函数y=f^-1（x）图象上的点．
（1）求实数k的值及函数f^-1（x）的解析式；
（2）将y=f^-1（x）的图象按向量
a
=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2f^-1（x+m-3）-g（x）≥1恒成立，求正实数m的取值范围．

难度：中等

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10．设a＞0且a≠1，f（logax）=
a
a2-1
（x-x^-1）．
（1）求f（x）的函数解析式，并求其定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性和单调性，并证明之；
（3）对于f（x），当x∈（-2，2）时，f（2-m）+f（2-m2）＜0，求m的值的集合．
（4）函数f（x）-3恰在（2，+∞）上取正值，求a的值．

难度：中等

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