知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知正实数a、b满足：a²+b²=2
ab
．
（1）求
1
a
+
1
b
的最小值m；
（2）设函数f（x）=|x-t|+|x+
1
t
|（t≠0），对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）=
m
2
成立，说明理由．

难度：较难

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2． △ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点（a，b）在直线x（sinA-sinB）+ysinB=csinC上
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC为锐角三角形且满足
m
tanC
=
1
tanA
+
1
tanB
，求实数m的最小值．

难度：中等

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3．已知f（x）=
2|x+1|+|2x-3|-m
定义域为R．
（1）求m的取值范围；
（2）若m的最大值为n，当正数a，b满足
1
3a+b
+
2
a+2b
=n时，求a+b的最小值．

难度：中等

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4．已知函数f（x）=ax²+bx-2b
（1）a=b＞0时，解关于x的不等式f（x）＜0；
（2）当a=1时，若对任意的x∈（-∞，2），不等式f（x）≥1恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若|f（-1）|≤1，|f（1）|≤3，求|a|+|b+2|的取值范围．

难度：中等

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5．已知a+b=1，a＞0，b＞0．
（Ⅰ）求
1
a
+
4
b
的最小值；
（Ⅱ）若不等式
1
a
+
4
b
≥|2x-1|-|x+1|对任意a，b恒成立，求x的取值范围．

难度：较难

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6．已知x，y∈R⁺，且x+y=2
（Ⅰ）要使不等式
1
x
+
1
y
≥|a+2|-|a-1|恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求证：x²+2y²≥
8
3
．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=|x+a|+|x+
1
a
|（a＞0）
（Ⅰ）当a=2时，求不等式f（x）＞3的解集；
（Ⅱ）证明：f(m)+f(-
1
m
)≥4．

难度：较难

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8．已知|x+2y+3z|≥4（x，y，z∈R）
（Ⅰ）求x²+y²+z²的最小值；
（Ⅱ）若|a+2|≤
7
2
（x²+y²+z²）对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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9．如图，某园林公司计划在一块半径为定值R（单位：优）的半圆形土地上种植花木、草皮，其中弓形CMD区域用于种植花草样品供人观赏，△OCD（O为圆心）区域用于种植花木出售，扇形O
AC
和O
BD
区域用于种植草皮出售．已知在一个种植周期内，种植花木的利润是48元/m²，种植草皮的利A润是18元/m²，样品观赏地的维护费用是12元/m²．
（Ⅰ）若∠COD=
π
6
，求样品观赏地的维护费用；
（Ⅱ）园林公司应如何设计∠COD的大小，才能在这块土地上获取最大收益？

难度：中等

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10．设集合L={l|直线l与直线y=3x相交，且以交点的横坐标为斜率}．
（1）是否存在直线l₀使l₀∈L，且l₀过点（1，5），若存在，请写出l₀的方程，若不存在，请说明理由；
（2）点P（-3，5）与集合L中的哪一条直线的距离最小？
（2）设a∈（0，+∞），点P（-3，a）与集合L中的直线的距离最小值记为f（a），求f（a）的解析式．

难度：中等

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