知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知实数x，y满足约束条件
2x-y-1≤0
x-y+1≥0
x≥0，y≥0
，若z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为1，则
1
2a
+
1
3b
的最小值为．

难度：中等

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2．已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求：
（1）x²+y²的最小值；
（2）
1
x
+
1
y
+
1
xy
的最小值．

难度：中等

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3．在求函数y=x²+
1
x2+a
(a＞0)的最小值时，某同学的做法如下：由基本不等式得y=x²+
1
x2+a
=x2+a+
1
x2+a
-a≥2
(x2+a)
1
x2+a
-a=2-a．
因此函数y=x²+
1
x2+a
的最小值为2-a．
若该同学的解法正确，则a的取值范围是．

难度：中等

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4．设a＞0，b＞0，若a+b=4，则
1
a
+
4
b
的最小值为．

难度：较易

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5．已知a，b均为正数．
（1）若a+b=1，求
1
a
+
4
b
的最小值；
（2）证明：（1+a+b²）（1+a²+b）≥9ab．

难度：中等

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6．已知a，b∈R⁺，且a+b+ab=8，求ab的取值范围．

难度：中等

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7．若x，y满足x²-2xy+3y²=4，则
1
x2+y2
的最大值与最小值的和是．

难度：中等

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8．若函数y=log_a（x+2）-1（a＞0且a≠1）的图象过定点A，且点A在一次函数f（x）=mx-n（m＞0，n＞0）的图象上，则
1
m
+
4
n
的最小值为．

难度：中等

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9． x＞0，y＞0，xy=x+9y+7，求
（1）xy的最小值；
（2）x+9y的最值．

难度：中等

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10．若实数x，y满足2x²+xy-y²=1，则
x-2y
5x2-2xy+2y2
的最大值为．

难度：较难

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