知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x-a|+|x+b|+c的最小值为1．
（1）求a+b+c的值；
（2）求证：a²+b²+c²≥
1
3
．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=|x-3|．
（1）求不等式f（x）＜2+|x+1|的解集；
（2）已知m，n∈R⁺且
1
m
+
1
n
=2mn，求证：mf（n）+nf（-m）≥6．

难度：中等

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3．设x，y均为正数，且x＞y，求证：x+
4
x2-2xy+y2
≥y+3．

难度：较易

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4．已知正实数x，y满足等式
1
x
+
3
y
=2．
（1）求xy的最小值；
（2）若3x+y≥m²-m恒成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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5．已知a，b∈R⁺，
2
a
+
3
b
=2．求ab的最大值，a+b的最小值，2a+3b的最小值，并取得最值时相应的a，b的值．

难度：较易

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6．若x，y均为正实数，且x+4y-xy=0，求x+y的最小值及取得最小值时x，y的值．

难度：中等

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7．如图（1）所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图（2）所示，求这个正六棱柱容器容积最大值．

难度：中等

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8．若a＞b＞0，证明：a²+
1
(a-b)b
≥4．

难度：较易

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9．设a＞0，b＞0，且a+b=
1
a
+
1
b

（1）证明：a+b≥2；
（2）a²+a≤2，求b²+b的取值范围．

难度：中等

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10．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，asinB=bcos
A
2
，a=2，D为边BC的中点，过D向直线AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．
（1）求A；
（2）求DE+2DF的最大值．

难度：中等

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