知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设x＞0，y＞0，不等式
1
x
+
1
y
+
m
x+y
≥0恒成立，则实数m的最小值为．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=xlnx-2x+a，其中a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围；
（3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n-1）²，其中n≥2．

难度：较难

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3．选做题（请考生在两个小题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．
（1）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为．
（2）若对于任意角θ，都有
cosθ
a
+
sinθ
b
=1，则下列不等式中恒成立的是
A．a²+b²≤1B．a²+b²≥1C.
1
a2
+
1
b2
≤1D.
1
a2
+
1
b2
≥1．

难度：较难

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4．巳知函数f（x）=x²-2ax-2alnx（x＞0，a∈R，g（x）=ln²x+2a²+
1
2
．
（1）证明：当a＞0时，对于任意不相等的两个正实数x₁、x₂，均有
f( x1)+f(x2)
2
＞f（
x1+x2
2
）成立；
（2）记h（x）=
f(x)+g(x)
2
，
（i）若y=h′（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（ii）证明：h（x）≥
1
2
．

难度：较难

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5．不等式(-1)na＜5+
(-1)n+1
2n
对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是．

难度：较难

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6．若x，y，a∈R⁺，且

≤a

x+y

恒成立，则a的最小值是（　　）

A．

B．

C．1

D．

难度：中等

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7．已知a＞0，函数f（x）=
1-ax
x
，x∈（0，+∞）．设0＜x₁＜
2
a
，记曲线y=f（x）在点M（x₁，f（x₁））处的切线为l
（1）求l的方程；
（2）设l与x轴交点为（x₂，0），求证：①0＜x₂≤
1
a
； ②若0＜x₁＜
1
a
，则x₁＜x₂＜2x₁．

难度：较难

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8．（理）已知函数f(x)=2+
1
a
-
1
a2x
，实数a∈R且a≠0．
（1）设mn＞0，判断函数f（x）在[m，n]上的单调性，并说明理由；
（2）设0＜m＜n且a＞0时，f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值；
（3）若不等式|a²f（x）|≤2x对x≥1恒成立，求a的范围．

难度：较难

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9．设h(x)=x+
m
x
，x∈[
1
4
，5]，其中m是不等于零的常数，
（1）（理）写出h（4x）的定义域；
（文）m=1时，直接写出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的单调递增区间；
（3）已知函数f（x）（x∈[a，b]），定义：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函数f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，则f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）当m=1时，设M(x)=
h(x)+h(4x)
2
+
|h(x)-h(4x)|
2
，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范围；
（文）当m=1时，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范围．

难度：中等

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10．已知x₁，x₂是关于x的方程：x²-kx+t=0（k，t∈R）的两个根，且x₁＞0，x₂＞0，记f(t)=(
1
x1
-x1)(
1
x2
-x2)．
（1）求出k与t之间的关系；
（2）若f（t）在其定义域内是单调函数，试求k的取值范围；
（3）解不等式：f（t）≤4．

难度：中等

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