知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．函数f（x）=ax²-2x-9在x=1处取得极值，则实数a= ．

难度：较易

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2．函数f（x）=x³-3ax²+a（a＞0）的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围为．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=（2-a）lnx+
1
x
+2ax．
（1）若函数f（x）有极小值，且极小值为4，试求a的值；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对∀a∈（-3，-2），∀x₁，x₂∈[1，3]恒有（m+ln3）a-21n3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

难度：中等

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4．已知幂函数f（x）=x -m2+2m+3（m∈z）为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调增函数
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g（x）=
1
4
f（x）+ax³+x²-b（x∈R），其中a，b∈R．若函数g（x）仅在x=0处有极值，求a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数 f（x）=（2-a）lnx+
1
x
+2ax（a∈R）
（1）当a=0时，求函数 f（x）的极值；
（2）讨论f（x）的单调性．

难度：较难

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6．已知：函数f（x）=x³-6x²+3x+t，t∈R．
（1）求函数f（x）两个极值点所对应的图象上两点之间的距离；
（2）设函数g（x）=e^xf（x）有三个不同的极值点，求t的取值范围．（注：a³-b³=（a-b）（a²+ab+b²））

难度：中等

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7．已知函数f(x)=
1
3
x3+
a-3
2
x2+(a2-3a)x-2a．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②
x
2
1
+
x
2
2
+a2，③
x
3
1
+
x
3
2
+a3
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

难度：较难

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8．设函数f（x）=
x2
2
+
m
x
，若函数f（x）的极值点x₀满足x₀f（x₀）-x₀³＞m²，则实数m的取值范围是．

难度：较易

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9．已知函数f（x）=
1
2
x²-（a²-a）1nx-x（a≤
1
2
）．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的极值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）设g（x）=a²lnx²-x，若f（x）＞g（x）对∀x＞1恒成立．求实数a的取值范围．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=x-a-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当函数y=f（x）有两个零点时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）当函数y=f（x）有两个零点x₁，x₂∈[
1
2
，
5
2
]且x₁＜x₂时，证明：
①若x₂-x₁≤1，则有
3
ln2+ln9
＜a＜
1
2-ln4
；
②
x2-x1
x1x2
随着a的增大而增大；
③x₁x₂＞1；
（Ⅲ）证明：
n
k=1
k
1+lnk
＞ln（n+1），（n∈N^*）．

难度：中等

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