知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=x+alnx，在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，函数g（x）=f（x）+
1
2
x2-bx．
（1）求实数a的值；
（2）设x₁，x₂（x₁＜x₂）是函数g（x）的两个极值点，记t=
x1
x2
，若b≥
13
3
，
①t的取值范围；
②求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

难度：中等

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2．设函数f（x）=e^x-a（x-1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（0，2]上存在唯一零点，求a的取值范围．

难度：较难

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3．已知函数f（x）=x²-（-1）^k2alnx（k∈N，a∈R且a＞0）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若k=2016，关于x的方程f（x）=2ax有唯一解，求a的值．

难度：中等

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4．已知f（x）=
m+ln(2x+1)
2x+1
．（m∈R）
（1）若曲线y=f（x）在x=0处的切线与直线x-2y-2016=0垂直，求函数f（x）的极值；
（2）若关于t的函数F（t）=lnt+t²-3t-
1
2016
(2x+1)2f′（x）在x∈[
e-1
2
，
e2-1
2
]时恒有3个不同的零点，试求实数m的范围．（f′（x）为f（x）的导函数，e是自然对数的底数）

难度：中等

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5．函数f（x）=x³-3x²+2的极大值是．

难度：中等

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6．函数f（x）=（1+ax²）e^x（a≠0）在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是．

难度：中等

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7．函数f(x)=
1
3
x3-
1
4
x4在区间（0，3）上的极值点为．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=lnx十
2a
x+1
（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在极大值，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a为何值时，对任意的x＞0，且x≠1，均有
lnx
x-1
-
a
x+1
＞0．

难度：中等

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9．已知a+2b=1且b＞1，则
1
a
+
a
b
的取值范围是．

难度：中等

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10．设x₀是函数f（x）=cos2x的一个极值点，则[f（x₀）]²= ．

难度：较易

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