知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知函数f（x）=
1
2
x2-2ax+1+lnx
（Ⅰ）当a=0时，若函数f（x）在其图象上任意一点A处的切线斜率为k，求k的最小值，并求此时的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）的极大值点为x₁，证明：x₁lnx₁-ax₁²＞-1．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=x（a+lnx）（a∈R）
（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值．
（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处切线的斜率为3，且2f（x）-（b+1）x+b＞0对任意x＞1都成立，求整数b的最大值．

难度：中等

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3．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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4．已知f（x）=2x+3-
ln(2x+1)
2x+1
．
（I）求证：当x=0时，f（x）取得极小值；
（Ⅱ）是否存在满足n＞m≥0的实数m，n，当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]？若存在，求m，n的值；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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5．已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1
，a∈R．
（Ⅰ）若x=3是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅲ）设m，n为正实数，且m＞n，求证：
m-n
lnm-lnn
＜
m+n
2
．

难度：中等

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6．已知f（x）=2x-
1
x
-alnx（a∈R）．
（1）当a=3时，求f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=f（x）-x+2alnx，且g（x）有两个极值点，其中x₁∈[0，1]，求g（x₁）-g（x₂）的最小值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=lnx-x+1，记函数f（x）的极大值为m，数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=m+
1
2
，
1
an+1
=
an
+a
2
n
2a
2
n
（a_n≠1）．
（1）证明：数列{
1
an
-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：2e Sn＞2ⁿ+1．

难度：较难

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8．已知函数f（x）=x³+nx²+mx，g（x）=nx²-mx，其中m，n∈R．
（1）若当m=n+6时，函数f（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且0≤x₁＜1，2≤x₂＜3，求实数n的取值范围和f（x₁）+f（x₂）的取值范围；
（2）当n＞m，且mn≥0时，若函数f（x），g（x）在区间[m，n]上都是单调函数，且单调性相反，求n-2m的最大值．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）．
（1）若函数f（x）有极小值-
1
e
，求f（x）的单调函数；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（x-1）；
（3）当x∈（1，e）是，不等式
x-1
a
＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．设函数f（x）=（a-2）1n（-x）+
1
x
+2ax（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，求f（x）的单调区间．

难度：中等

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