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          共50条信息

            • 1． 设a为实数，函数f（x）=ex-2x+2a，x∈R．
              （1）求f（x）的单调区间及极值；
              （2）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，ex＞x2-2ax+1．
              难度：较难
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            • 2． 设a∈R，函数f（x）=lnx-ax．
              （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间和极值；
              （Ⅱ）已知x1=
              		e
              （e为自然对数的底数）和x2是函数f（x）的两个不同的零点，求a的值并证明：x2＞e
              3
              2
              ．
              难度：中等
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            • 3． 函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1时有极值10，则a的值为    ．
              难度：较易
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            • 4． 已知函数f（x）=
              1+lnx
              x

              （Ⅰ）若k＞0且函数在区间(k，k+
              3
              4
              )              上存在极值，求实数k的取值范围；
              （Ⅱ）如果当x≥2时，不等式f(x)≥
              a
              x+2
              恒成立，求实数a的取值范围；
              （Ⅲ）求证：n≥2，（2•3-2）（3•4-2）…[n（n+1）-2][（n+1）（n+2）-2]＞e2n-3．
              难度：较难
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            • 5． 已知函数f（x）=（x3-6x2+3x+t）ex，t∈R．
              （1）若函数y=f（x）依次在x=a，x=b，x=c（a＜b＜c）处取到极值．
              ①求t的取值范围；
              ②若a+c=2b2，求t的值．
              （2）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立．求正整数m的最大值．
              难度：较难
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            • 6． 已知函数f(x)=lnx-
              1
              2
              ax2+bx              （a＞0），且f′（1）=0．
              （Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
              （Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当x0=
              x1+x2
              2
              时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．
              难度：较难
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            • 7． 若函数f（x）=ax3+bx2+cx+d是奇函数，且f(x)极小值=f(-
              		3
              3
              )=-
              2
              		3
              9
              ．
              （1）求函数f（x）的解析式；
              （2）求函数f（x）在[-1，m]（m＞-1）上的最大值；
              （3）设函数g(x)=
              f(x)
              x2
              ，若不等式g(x)•g(2k-x)≥(
              1
              k
              -k)2              在（0，2k）上恒成立，求实数k的取值范围．
              难度：较难
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            • 8． 设函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a、b、c、d∈R）满足：∀x∈R都有f（x）+f（-x）=0，且x=1时，f（x）取极小值-
              2
              3
              ．
              （1）f（x）的解析式；
              （2）当x∈[-1，1]时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直：
              （3）设F（x）=|xf（x）|，证明：x∈(0，
              		3
              )              时，F(x)≤
              3
              4
              ．
              难度：中等
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            • 9． 已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）2（x∈R）．
              （Ⅰ）若f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与直线27x+y-8=0平行，求函数f（x）的极值；
              （Ⅱ）若对任意x∈[-2，1]，不等式f(x)＜
              16
              9
              恒成立，求实数a的取值范围．
              难度：较难
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            • 10． 已知a＞0且a≠1，函数f（x）=loga（1-ax）．
              （1）求函数f（x）的定义域，并判断f（x）的单调性；
              （2）若n∈N*，求
              lim
              n→∞
              af(n)
              an+a
              ；
              （3）当a=e（e为自然对数的底数）时，设h（x）=（1-ef（x））（x2-m+1）．若函数的极值存在，求实数m的取值范围以及函数h（x）的极值．
              难度：较难
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